假定有一个递归算法,其时间复杂度T(n)的递归定义为: T(n) ={8T(n/2) + O(nlogn),n> 1;1,n=1 求T(n)过程
时间: 2023-09-25 19:10:55 浏览: 65
根据递归定义,可以得到:
T(n) = 8T(n/2) + O(nlogn)
将n替换为n/2,得到:
T(n/2) = 8T(n/4) + O(nlog(n/2))
将T(n/2)代入T(n)中,得到:
T(n) = 8[8T(n/4) + O(nlog(n/2))] + O(nlogn)
化简,得到:
T(n) = 8^2 T(n/4) + 8O(nlog(n/2)) + O(nlogn)
以此类推,将T(n/4)代入T(n)中,得到:
T(n) = 8^3 T(n/8) + 8^2 O(nlog(n/4)) + 8O(nlog(n/2)) + O(nlogn)
化简,得到:
T(n) = 8^k T(n/2^k) + kO(nlog(n/2^k))
当n/2^k = 1时,即k=logn,代入上式可得:
T(n) = 8^logn T(1) + lognO(nlog1)
由于T(1)=1,8^logn = n^log8,O(nlog1) = O(1),代入上式可得:
T(n) = n^log8 + O(nlogn)
因此,该递归算法的时间复杂度为O(n^log8)。
相关问题
假定有一个递归算法,其时间复杂度T(n)的递归定义为: T(n) ={8T(n/2) + O(nlogn),n> 1;1,n=1 求T(n)
根据递归定义可以得到:
T(n) = 8T(n/2) + nlogn
= 8(8T(n/4) + (n/2)log(n/2)) + nlogn
= 8^2T(n/4) + 2nlogn - 8nlog2 + nlogn
= 8^2T(n/4) + 3nlogn - 8nlog2
= 8^3T(n/8) + 4nlogn - 8nlog3
= ...
= 8^kT(n/2^k) + knlogn - (2^k) * nlog2
当n/2^k = 1时,即 k = logn 时,得到
T(n) = 8^logn + nlogn * logn - nlogn
= n^3(log2)^3 - n^2(log2)^2
所以,时间复杂度为 O(n^3log^3n)。
循环赛日程递归的时间复杂度的递归定义时间复杂度T(n)
循环赛日程递归是一种常见的算法问题,它可以通过递归的方式生成循环赛的比赛日程安排。在这个问题中,我们可以使用递归定义时间复杂度T(n)来描述算法的运行时间。
循环赛日程递归的时间复杂度的递归定义时间复杂度T(n)可以表示为:
T(n) = 2 * T(n/2) + O(1)
其中,T(n/2)表示在规模为n/2的子问题上的递归调用的时间复杂度,O(1)表示其他常数时间操作的时间复杂度。
解释一下这个递归定义:
- 首先,我们将问题规模缩小一半,即将n个参赛者分成两组。
- 然后,我们需要计算每组参赛者的比赛日程安排,这是一个规模为n/2的子问题。
- 最后,我们需要将两组参赛者的比赛日程合并起来,这个操作的时间复杂度为O(1)。
根据这个递归定义,我们可以使用递归树来分析算法的时间复杂度。每一层递归都会将问题规模缩小一半,直到问题规模为1时停止递归。因此,递归树的高度为log(n)。
在每一层递归中,除了递归调用的时间复杂度为T(n/2)外,还有其他常数时间操作的时间复杂度O(1)。因此,每一层递归的时间复杂度为O(1)。
根据递归树的高度和每一层递归的时间复杂度,我们可以得到循环赛日程递归的时间复杂度为:
T(n) = O(1) + O(1) + ... + O(1) (共log(n)层)
= O(log(n))
因此,循环赛日程递归的时间复杂度为O(log(n))。