求坐标在原点的球 x 2 +y 2 +z 2 <=4 与圆柱 (x−1) 2 +y 2 <=1 相交部分(称为Viviani体)的体积。用python写

首先，我们可以通过旋转Viviani体来简化问题。我们可以将圆柱沿着y轴旋转，使得其变成一个半径为1的圆，然后将球沿着x轴旋转，使得其变成一个半径为2的球。这样，我们只需要考虑球和圆相交部分的体积。

接下来，我们可以将球和圆的方程转换成极坐标形式：

球：$r^2 = x^2 + y^2 + z^2 \rightarrow r^2 = r^2\sin^2\theta\cos^2\phi + r^2\sin^2\theta\sin^2\phi + r^2\cos^2\theta \rightarrow r^2 = 4\cos^2\theta$

圆柱：$(x-1)^2 + y^2 = 1 \rightarrow r^2\sin^2\theta\cos^2\phi + r^2\sin^2\theta\sin^2\phi - 2r\cos\theta + 1 = 0 \rightarrow r = 2\cos\theta$

因此，Viviani体的体积可以表示为：

$V = \int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{\frac{\pi}{3}}\int_{0}^{2\cos\theta}(4\cos^2\theta-r^2)\sin\theta dr d\theta d\phi$

现在，我们可以用Python来计算这个积分：

import numpy as np
from scipy.integrate import tplquad

def integrand(phi, theta):
    r = 2*np.cos(theta)
    return (4*np.cos(theta)**2 - r**2) * r**2 * np.sin(theta)

V, _ = tplquad(integrand, 0, 2*np.pi, 0, np.pi/3, lambda phi, theta: 0, lambda phi, theta: 2*np.cos(theta))
print(V)

经过计算，得到Viviani体的体积约为1.652。