相关系数阵 R 与协方差矩阵相等

相关系数阵（Correlation Matrix）和协方差矩阵（Covariance Matrix）在统计学中都用于衡量一组变量之间的线性关系强度及其方向。它们都是方阵，其中每个元素代表两个变量之间的关联程度。

1. **协方差矩阵**：协方差矩阵是一个对称的正定矩阵，其(i, j)位置的元素表示随机变量X_i和X_j的协方差，即σ_{ij} = Cov(X_i, X_j)。如果变量之间没有线性相关，则对应元素为0；正的值表示正相关，负的值表示负相关，绝对值越大，相关性越强。

2. **相关系数阵**：相关系数矩阵也称为皮尔逊相关系数矩阵，它同样是对角线为1（因为自相关的系数总是1），非对角线的元素是变量对的相关系数ρ_{ij}，该系数同样是在-1到1的范围内，描述了两个变量变化的方向和强度。相关系数的取值范围是[-1, 1]，1表示完全正相关，-1表示完全负相关，0表示无关或随机变动。

简单来说，当数据标准化（均值为0，标准差为1）后，协方差矩阵会被转换成相关系数矩阵，两者实际上是一致的，只是单位不同。协方差矩阵关注的是原始数值的变异程度，而相关系数矩阵关注的是变异后的标准化数值的关系。所以，在标准化之后，两者是对同一组数据的不同度量方式，只不过相关系数更直观地呈现了变量间的线性关系。