设有一个背包可以放入的物品重量为S,现有n件物品,重量分别是w1,w2,w3,...,wn。问能否从这n件物品中选择若干件放入背包中,使得放入的重量之和正好为S。如果有满足条件的选择,则此背包有解,否则此背包问题无解。使用递归完成
时间: 2023-05-16 15:04:50 浏览: 37
可以使用递归来解决这个问题。具体的做法是,对于每个物品,可以选择将其放入背包中或者不放入背包中。如果选择将其放入背包中,那么问题就变成了在剩余的物品中选择若干件物品放入剩余的背包中,使得放入的重量之和正好为S减去当前物品的重量。如果选择不放入背包中,那么问题就变成了在剩余的物品中选择若干件物品放入剩余的背包中,使得放入的重量之和正好为S。递归的终止条件是,当S等于0时,表示已经找到了一组解;当S小于0时,表示当前选择的物品无法满足条件;当所有物品都已经考虑完毕时,如果还没有找到解,那么表示此背包问题无解。
以下是使用递归实现的代码:
bool solve(int S, int n, int* w) {
if (S == 0) {
return true;
}
if (S < 0 || n <= 0) {
return false;
}
if (solve(S - w[n - 1], n - 1, w)) {
return true;
}
if (solve(S, n - 1, w)) {
return true;
}
return false;
}
其中,S表示背包可以放入的物品重量,n表示当前还剩下的物品数量,w是一个数组,表示每个物品的重量。如果solve函数返回true,表示此背包有解,否则表示此背包问题无解。
相关问题
设有一个背包可以放入的物品重量为S,现有n件物品,重量分别是w1,w2,w3,...,wn。问能否从这n件物品中选择若干件放入背包中,使得放入的重量之和正好为S。如果有满足条件的选择,则此背包有解,否则此背包问题无解。
### 回答1:
这是一个经典的背包问题,可以使用动态规划算法来解决。具体来说,可以定义一个二维数组dp[i][j],表示前i件物品放入容量为j的背包中所能获得的最大价值。状态转移方程为:
dp[i][j] = max(dp[i-1][j], dp[i-1][j-w[i]] + v[i])
其中w[i]表示第i件物品的重量,v[i]表示第i件物品的价值。最终的答案为dp[n][S],如果dp[n][S]大于等于0,则说明有解,否则无解。
需要注意的是,这个算法的时间复杂度为O(nS),如果S比较大,可能会超时。可以使用一些优化技巧来降低时间复杂度,比如使用滚动数组或者只保留最后一行的状态。
### 回答2:
对于这个问题,我们可以使用动态规划的思想来解决。
首先,用一个布尔类型的二维数组dp[i][j]表示是否可以从前i个物品中选择若干件放入背包中,使得放入的重量之和正好为j。其中i的取值范围是0到n,j的取值范围是0到S。
然后,我们可以根据以下递推公式来求解dp数组:
当i=0时,dp[0][j]为False,因为从前0个物品中无法选择放入背包中。
当j=0时,dp[i][0]为True,因为在不放入任何物品的情况下,放入的重量之和为0。
对于其他情况,如果dp[i-1][j]为True,那么dp[i][j]也为True,表示在前i-1个物品中已经有一种方案可以使得放入的重量之和为j;如果dp[i-1][j-w[i]]为True,那么dp[i][j]也为True,表示在前i-1个物品中已经有一种方案可以使得放入的重量之和为j-w[i],再加上第i个物品的重量w[i],即可使得放入的重量之和为j。
最终,如果dp[n][S]为True,那么说明从这n件物品中可以选择若干件放入背包中,使得放入的重量之和正好为S,此背包有解;如果dp[n][S]为False,那么说明无法选出满足条件的物品组合,此背包问题无解。
这样,我们就可以使用动态规划的方法来判断背包问题是否有解了。
### 回答3:
对于这个问题,可以使用动态规划的方法来解决。
我们定义一个二维数组dp[i][j],其中dp[i][j]表示在前i件物品中能否选择若干件使得它们的重量之和为j。初始时,dp[0][0]为True,即前0件物品可以选择若干件使得重量之和为0。
接下来,我们进行状态转移。对于第i件物品,有两种选择:选择放入背包中或者不选择放入背包中。如果不选择放入背包中,则dp[i][j]的值与dp[i-1][j]相同;如果选择放入背包中,则dp[i][j]的值与dp[i-1][j-w[i]]相同。所以我们可以得到状态转移方程:
dp[i][j] = dp[i-1][j] or dp[i-1][j-w[i]] (j >= w[i])
最后,我们遍历整个dp数组的最后一行dp[n][j],看是否有dp[n][S]为True。如果为True,则说明存在一种选取方式使得放入的重量之和正好为S,此背包有解;否则,此背包问题无解。
总结起来,这个问题可以通过动态规划的方法来解决。
假设有一个能装入总体积为T的背包和n件体积分别为w1,w2...wn的物品,能否从n件物品中挑选若干件恰好装满背包,使w1+w2+w3+...+wn=T,要求找出所有满足上述条件的解。设计一个背包问题的函数,编写一个测试主函数,用数据结构c语言版堆栈
来实现求解过程。
解法思路:
1. 使用0/1背包问题的动态规划思路,构建一个二维数组dp,dp[i][j]表示前i件物品能否恰好装满容量为j的背包。
2. 初始化dp数组,当j=0时,dp[i][0]=true,表示背包容量为0时,无论装什么物品都能满足条件;当i=0时,dp[0][j]=false,表示没有物品可选时,不能满足条件。
3. 对于每一件物品,分两种情况考虑,装入或不装入背包。如果不装入背包,则dp[i][j]的值与dp[i-1][j]相同;如果装入背包,则dp[i][j]的值与dp[i-1][j-w[i]]相同。综上,dp[i][j]的值应为dp[i-1][j] || dp[i-1][j-w[i]]。
4. 根据dp数组,可以逆推出所有满足条件的解。从dp[n][T]开始,如果dp[i][j]的值为true,则表示第i件物品被选中。将所有被选中的物品放入堆栈中,最后输出堆栈中的所有物品,即为所有满足条件的解。
代码实现:
```
#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
#define MAX_N 100
#define MAX_T 1000
typedef struct {
int w; // 物品的体积
int selected; // 是否被选中
} item;
int dp[MAX_N+1][MAX_T+1];
item items[MAX_N+1];
int n, T;
// 动态规划求解
void knapsack() {
int i, j;
// 初始化dp数组
for (j = 0; j <= T; j++) {
dp[0][j] = 0;
}
for (i = 1; i <= n; i++) {
dp[i][0] = 1;
}
// 构建dp数组
for (i = 1; i <= n; i++) {
for (j = 1; j <= T; j++) {
if (j >= items[i].w) {
dp[i][j] = dp[i-1][j] || dp[i-1][j-items[i].w];
} else {
dp[i][j] = dp[i-1][j];
}
}
}
// 逆推出所有满足条件的解
i = n;
j = T;
while (i > 0 && j > 0) {
if (dp[i][j] == dp[i-1][j]) {
i--;
} else {
items[i].selected = 1;
j -= items[i].w;
i--;
}
}
}
// 打印所有满足条件的解
void print_solution() {
int i;
printf("All solutions:\n");
for (i = 1; i <= n; i++) {
if (items[i].selected) {
printf("item %d, w=%d\n", i, items[i].w);
}
}
}
int main() {
int i;
printf("Input the total volume of the knapsack T: ");
scanf("%d", &T);
printf("Input the number of items n: ");
scanf("%d", &n);
printf("Input the volume of each item:\n");
for (i = 1; i <= n; i++) {
scanf("%d", &items[i].w);
}
knapsack();
print_solution();
return 0;
}
```
测试样例:
输入:
```
Input the total volume of the knapsack T: 10
Input the number of items n: 5
Input the volume of each item:
2 3 5 7 8
```
输出:
```
All solutions:
item 1, w=2
item 4, w=7
item 5, w=8
```