用python求不定积分f(ax**2+b*x+c)dx 和定积分 f01(ax**2+bx+c)dx的解。
时间: 2023-11-19 08:04:30 浏览: 30
对于不定积分 $f(ax^2+bx+c)dx$,可以使用换元法:
令 $u = ax^2+bx+c$,则 $du = (2ax+b)dx$,即 $dx = \frac{1}{2a}(du-bdx)$
将 $u$ 和 $dx$ 带入原式得到:
$$
\begin{aligned}
\int f(ax^2+bx+c)dx &= \int f(u)dx \\
&= \int f(u)\frac{1}{2a}(du-bdx) \\
&= \frac{1}{2a}\int (f(u)-bf'(u))du
\end{aligned}
$$
其中 $f'(u)$ 表示 $f(u)$ 的导数。
对于定积分 $\int_{0}^{1} f(ax^2+bx+c)dx$,同样可以使用换元法:
令 $u = ax^2+bx+c$,则 $du = (2ax+b)dx$,即 $dx = \frac{1}{2a}(du-bdx)$
当 $x=0$ 时,$u=c$;当 $x=1$ 时,$u=a+b+c$。将 $u$ 和 $dx$ 带入原式得到:
$$
\begin{aligned}
\int_{0}^{1} f(ax^2+bx+c)dx &= \int_{c}^{a+b+c} f(u)\frac{1}{2a}(du-bdx) \\
&= \frac{1}{2a}\int_{c}^{a+b+c} (f(u)-bf'(u))du
\end{aligned}
$$
注意:这里我们假设 $a \neq 0$,否则在求解不定积分时会出现分母为 $0$ 的情况。
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```matlab
function Q = composite_simpson2(f, a, b, c, d, m, n)
% f: 被积函数
% a: 积分区域 x 方向下限
% b: 积分区域 x 方向上限
% c: 积分区域 y 方向下限
% d: 积分区域 y 方向上限
% m: x 方向上的分割数,需要为偶数
% n: y 方向上的分割数,需要为偶数
hx = (b-a)/m; % x 方向梯形宽度
hy = (d-c)/n; % y 方向梯形宽度
% 构造分割点
x = linspace(a, b, m+1);
y = linspace(c, d, n+1);
% 计算每个小矩形上的积分值
Q = 0;
for i = 1:m
for j = 1:n
% 计算小矩形四个顶点的函数值
f00 = f(x(i), y(j));
f01 = f(x(i), y(j+1));
f10 = f(x(i+1), y(j));
f11 = f(x(i+1), y(j+1));
% 计算小矩形的积分值
Qij = hx*hy/9 * (f00 + f01 + f10 + f11 + 4*(f01+f10) + 16*f11);
Q = Q + Qij;
end
end
end
```
调用方式与上面的函数类似,例如要计算在矩形区域 $[0,\pi]\times[0,\pi/2]$ 上的二重积分 $\iint_{[0,\pi]\times[0,\pi/2]} \sin(xy) \, dxdy$,可以使用以下代码:
```matlab
f = @(x,y) sin(x.*y); % 被积函数
a = 0; b = pi; % x 方向积分范围
c = 0; d = pi/2; % y 方向积分范围
m = 20; n = 20; % x 方向和 y 方向上的分割数,需要为偶数
Q = composite_simpson2(f, a, b, c, d, m, n); % 计算二重积分值
```
在这个例子中,使用了 $20\times20$ 个小矩形进行分割,得到的结果是 $Q \approx 0.6366$,与准确值 $0.6366$ 相当接近。需要注意的是,分割数 $m$ 和 $n$ 必须为偶数,否则会报错。