求矩阵（3,1,0,0；-4，-1,0,0；0,0,2,1;0,0,-1,0）的最小多项式和Jordan标准型

首先，我们需要求出矩阵的特征值和特征向量。

特征多项式为：

$$
\begin{aligned}
\det(\lambda I - A) &= \begin{vmatrix}
\lambda - 3 & -1 & 0 & 0 \\
4 & \lambda + 1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & \lambda - 2 & -1 \\
0 & 0 & 1 & \lambda
\end{vmatrix} \\
&= (\lambda - 3)(\lambda + 1)(\lambda^2 - 2\lambda - 1)
\end{aligned}
$$

解得特征值为 $\lambda_1 = 3, \lambda_2 = -1, \lambda_3 = 1 + \sqrt{2}, \lambda_4 = 1 - \sqrt{2}$，其中 $\lambda_3, \lambda_4$ 是一对共轭复数。

对于 $\lambda_1 = 3$，解齐次线性方程组 $(\lambda I - A)x = 0$，得到一个特征向量为 $\begin{pmatrix} 1 \\ -4 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$。

对于 $\lambda_2 = -1$，解齐次线性方程组 $(\lambda I - A)x = 0$，得到一个特征向量为 $\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}$。

对于 $\lambda_3 = 1 + \sqrt{2}$，解非齐次线性方程组 $(\lambda I - A)x = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$，得到一个特征向量为 $\begin{pmatrix} -1 - \sqrt{2} \\ -4 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}$。又因为 $\lambda_3, \lambda_4$ 是一对共轭复数，所以 $\lambda_4 = 1 - \sqrt{2}$ 对应的特征向量为 $\begin{pmatrix} -1 + \sqrt{2} \\ -4 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}$。

接下来，我们需要确定矩阵的Jordan标准型。

对于 $\lambda_1 = 3$，由于只有一个特征向量，所以它的Jordan块为 $[3]$。

对于 $\lambda_2 = -1$，由于只有一个特征向量，所以它的Jordan块为 $[-1]$。

对于 $\lambda_3 = 1 + \sqrt{2}$，由于有两个线性无关的特征向量，所以它的Jordan块为 $\begin{bmatrix} 1 + \sqrt{2} & 1 \\ 0 & 1 + \sqrt{2} \end{bmatrix}$。

对于 $\lambda_4 = 1 - \sqrt{2}$，由于有两个线性无关的特征向量，所以它的Jordan块为 $\begin{bmatrix} 1 - \sqrt{2} & 1 \\ 0 & 1 - \sqrt{2} \end{bmatrix}$。

因此，矩阵的Jordan标准型为：

$$
\begin{bmatrix}
3 & 0 & 0 & 0 \\
0 & -1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1 + \sqrt{2} & 1 \\
0 & 0 & 0 & 1 - \sqrt{2}
\end{bmatrix}
$$

最小多项式应该是各个特征值对应的最小多项式的最小公倍式，即 $(\lambda - 3)(\lambda + 1)(\lambda^2 - 2\lambda - 1)$。