已知模型comsp=β0+β1income+μ的误差项的方差满足Var（μ）=σ^2income，其中σ%2是未知常数。请写出最小加权二乘法变换的过程，并证明变换后的新模型满足同方差假设

最小加权二乘法的目标是最小化加权残差平方和，即：

S = ∑wi(yi - β0 - β1xi)^2

其中，wi为加权系数，yi为第i个观测值的因变量取值，xi为第i个观测值的自变量取值。通过对S求偏导数，并令其为0，可以得到最小加权二乘法的估计量：

β1 = ∑wi(xi - x̄)(yi - ȳ) / ∑wi(xi - x̄)^2

β0 = ȳ - β1x̄

其中，x̄和ȳ分别为自变量和因变量的样本均值。

对于本题，给定模型为comsp=β0+β1income+μ，其中Var（μ）=σ^2income。因此，最小加权二乘法的加权系数应该为1/Var（μ）=1/σ^2income。

将加权系数带入到最小加权二乘法的估计量中，可以得到：

β1 = ∑(xi - x̄)(yi - ȳ) / ∑(xi - x̄)^2 * (1/σ^2income)

β0 = ȳ - β1x̄

可以发现，最小加权二乘法的估计量中包含了1/σ^2income这个因子，因此新模型的残差的方差为：

Var(ε) = Var(y - comsp) = Var(y - β0 - β1income) = Var(μ) / σ^4income = 1 / σ^2income

这意味着新模型的残差方差与income无关，满足同方差假设。

相关问题

已知模型comsp=β0+β1income+μ的误差项的方差满足Var(μ)=σ^2income，其中σ^2是未知常数，请写出加权最小二乘法变换的过程，并证明后来的新模型满足同方差假设。

加权最小二乘法的目标是最小化误差的加权平方和，即:

S = ∑(yi - β0 - β1xi)^2/wi

其中，wi为第i个样本的权重。

对S进行最小化，可得到β0和β1的估计值为：

β1 = ∑wi * xi * yi / ∑wi * xi^2

β0 = (1/n) * ∑(yi - β1xi) * wi

其中，n为样本数量。

现在我们来证明新模型满足同方差假设。由于误差项的方差满足Var(μ)=σ^2income，我们可以将误差项μ除以√(σ^2income)来进行标准化，得到标准化的误差项ε=μ/√(σ^2income)。则原模型可以转化为：

comsp/√(σ^2income) = (β0/√(σ^2income)) + (β1/√(σ^2income)) * income + ε

我们可以看到，标准化后的模型中误差项的方差为1，即Var(ε)=1。由于加权最小二乘法是针对误差的平方和最小化，因此加权最小二乘法得到的新模型中误差的方差也为1，即新模型满足同方差假设。