Alice和Bob约定素数P=353,P的本原根a=3,Alice选择私钥为97,则对应公钥为
时间: 2024-09-07 19:05:19 浏览: 53
在公钥密码体系中,如RSA算法中,Alic选择了私钥为97,我们需要计算Alice的公钥。首先,我们需要了解一些基本概念:
1. 素数P:已知P=353,是一个素数,意味着它只有1和它本身两个正因子。
2. 本原根a:已知本原根a=3,对于素数P来说,a是一个整数,且a^k mod P的结果对于所有1<=k<P-1都是不同的。
3. 私钥和公钥:在基于离散对数问题的公钥密码体系中,公钥和私钥是成对出现的。公钥是通过私钥和本原根a计算得到的。
根据上述信息,Alice的公钥可以通过以下计算得到:
公钥G = a^私钥 mod P
将已知数值代入公式中:
G = 3^97 mod 353
我们需要计算3的97次方然后取模353的结果。
这个计算过程涉及到大数运算,通常会用到快速幂算法来高效计算。由于3^97是一个非常大的数字,这个计算过程最好使用计算机程序来完成。
我们可以通过以下代码片段计算这个结果:
```python
P = 353
a = 3
private_key = 97
public_key = pow(a, private_key, P)
```
执行这段代码将得到Alice的公钥。
相关问题
在ElGamal密码系统中,Alice和Bob使用大素数p=17和本原元g=3。Bob选用x=6作为他的私钥,则他的公钥y=15。Alice发送密文(7,6),请确定明文m。
在ElGamal密码系统中,Alice发送的密文为$(c_1,c_2)$,其中$c_1\equiv g^k\pmod{p}$,$c_2\equiv m\cdot y^k\pmod{p}$,$k$为Alice选取的随机数。
Bob可以使用他的私钥$x$来解密这个密文。首先,他计算$c_1^x\pmod{p}$,得到$(c_1^x\equiv (g^k)^x\equiv g^{kx}\pmod{p})$。然后,他将$(c_1^x)^{-1}\cdot c_2\pmod{p}$计算出来,即$(c_1^x)^{-1}\cdot c_2\equiv m\cdot y^k\cdot (g^{kx})^{-1}\pmod{p}$,$y$是Bob的公钥。
在这个例子中,Bob的私钥为$x=6$,所以他首先计算$(g^k)^x\equiv 3^6\equiv 12\pmod{17}$。然后,他计算$(12)^{-1}\cdot 6\equiv 2\cdot 6\equiv 12\pmod{17}$。因此,Alice发送的明文为$m=12$。
在ElGamal密码系统中,Alice和Bob使用p=17和g=3。Bob选用x=6作为他的私钥,则他的公钥y=15。Alice发送密文(7,6),请确定明文m。
### 回答1:
在ElGamal密码系统中,Alice要发送的密文为$(a,b)$,其中:
$a\equiv g^k\pmod{p}$
$b\equiv m\cdot y^k\pmod{p}$
其中,$k$是Alice自己选择的随机数。因此,我们可以通过Bob的私钥和公钥来计算出$k$,然后就可以解密出明文$m$了。
根据公式,我们可以得到:
$k\equiv \log_3 7\pmod{17}$
$m\equiv b\cdot a^{-x}\pmod{p}$
首先,我们来计算$k$:
$3^4\equiv 1\pmod{17}$
$3^5\equiv 3\pmod{17}$
$3^6\equiv 9\pmod{17}$
$3^7\equiv 10\pmod{17}$
因此,$\log_3 7\equiv 7\pmod{16}$。因此,$k=7$。
接下来,我们来计算$m$:
$a\equiv g^k\equiv 3^7\equiv 11\pmod{17}$
$b\equiv m\cdot y^k\equiv 7\cdot 15^7\equiv 2\pmod{17}$
因此,$m\equiv b\cdot a^{-x}\equiv 2\cdot 11^{-6}\equiv 6\pmod{17}$。
因此,明文$m$为6。
### 回答2:
在ElGamal密码系统中,Alice和Bob使用p=17和g=3。Bob选用x=6作为他的私钥,则他的公钥y=15。Alice发送密文(7,6),现在我们来确定明文m。
首先,我们知道Bob的私钥x=6,公钥y=15以及密文(7,6)。根据ElGamal密码系统的加密过程,密文的第一个部分是c1,第二个部分是c2。
根据密文中的c1=7,我们可以计算出c1的逆元c1_inv。由于p=17是一个质数,根据模逆的定义,c1_inv为c1的p-2次幂模p的结果。因此,c1_inv = 7^(17-2) mod 17 = 7^15 mod 17。
接下来,我们可以使用公式m = c2 * c1_inv mod p来计算明文m。根据密文中的c2=6,我们可以代入计算得到明文m = 6 * c1_inv mod 17。
将c1_inv的计算代入得到m = 6 * (7^15 mod 17) mod 17。计算(7^15 mod 17)时,我们可以利用指数运算的性质进行简化,并且由于p=17是一个小质数,这个计算是很容易的。
最终,我们计算得到明文m = 12 mod 17 = 12。因此,明文m的数值为12。
综上所述,在ElGamal密码系统中,当Alice发送密文(7,6)时,明文m的数值为12。
### 回答3:
在ElGamal密码系统中,Bob选用了私钥x=6,公钥y=15,并且设定了p=17和g=3。Alice发送了密文(7,6)给Bob。
根据ElGamal密码系统的加密过程,Alice发送的密文是通过以下公式计算得出的:
c1 ≡ g^k mod p
c2 ≡ (m * y^k) mod p
其中,c1和c2分别表示密文的两个部分,k是临时生成的随机数。
已知密文(7,6),我们可以计算出k的值:
7 ≡ 3^k mod 17
通过试验,我们可以得知k=5满足这个条件。
接下来,我们可以利用已知的密文和k的值来计算出明文m:
c2 ≡ (m * y^k) mod p
6 ≡ (m * 15^5) mod 17
我们可以通过反向计算得到明文m的值。将等式两边都乘以y的逆元y^-1,得到:
6 * y^-5 ≡ m mod 17
现在,我们需要计算出y的逆元y^-1:
y^-1 ≡ y^(p-1-x) mod p
≡ 15^(17-1-6) mod 17
≡ 15^10 mod 17
≡ 4 mod 17
将y的逆元代入反向计算等式中,我们可以得到:
6 * 4 ≡ m mod 17
最后,计算出明文m的值:
m ≡ 6 * 4 mod 17
≡ 24 mod 17
≡ 7
因此,明文m的值为7。