有 N 件物品和一个容量是 V 的背包，背包能承受的最大重量是 M 。 每件物品只能用一次。体积是 vi ，重量是 mi，价值是 wi 。 求解将哪些物品装入背包，可使物品总体积不超过背包容量，总重量不超过背包可承受的最大重量，且价值总和最大。 输出最大价值。

这是一个经典的背包问题，可以使用动态规划算法来解决。具体来说，可以定义一个二维数组 dp[i][j] 表示前 i 件物品放入容量为 j 的背包中所能获得的最大价值。则状态转移方程为：

dp[i][j] = max(dp[i-1][j], dp[i-1][j-mi]+wi)

其中，dp[i-1][j] 表示不选第 i 件物品，dp[i-1][j-mi]+wi 表示选第 i 件物品。最终的答案即为 dp[N][V][M]。

需要注意的是，这里的重量限制是 M，而不是背包的容量。因此，在状态转移时，需要同时考虑体积和重量的限制。

相关问题

有 N 件物品和一个容量是 V 的背包。每件物品只能使用一次。 第 i 件物品的体积是 vi，价值是 wi。 求解将哪些物品装入背包，可使这些物品的总体积不超过背包容量，且总价值最大。 输出最大价值。

### 回答1：
这是一个经典的背包问题。

给定 $N$ 件物品和一个容量为 $V$ 的背包，每件物品只能使用一次，第 $i$ 件物品的体积为 $v_i$，价值为 $w_i$。求解将哪些物品装入背包可使这些物品的总体积不超过背包容量，且总价值最大。输出最大价值。

通常情况下，我们可以使用贪心算法或动态规划来解决背包问题。

对于贪心算法，我们可以先将物品按照单位体积价值进行排序，然后依次将排序后的物品加入背包，直到装满为止。这样做的时间复杂度为 $O(N \log N)$。

对于动态规划，我们可以使用一个二维数组 $dp[i][j]$，其中 $dp[i][j]$ 表示前 $i$ 件物品中选择体积不超过 $j$ 的最大价值。然后我们可以使用如下的状态转移方程来求解：

$$dp[i][j]=\max(dp[i-1][j],dp[i-1][j-v_i]+w_i)$$

这样做的时间复杂度为 $O(NV)$。

我们可以根据题目中给出的数据规模来选择使用哪种方法来解决背包问题。

### 回答2：
这是一个经典的背包问题，也可以称为“0-1背包问题”。我们可以使用动态规划的方法来解决。

首先，我们定义一个二维数组dp，dp[i][j]表示前i件物品装入容量为j的背包中所能获得的最大价值。

然后，我们可以通过以下的递推关系来计算dp[i][j]：
1. 当第i件物品的体积vi大于背包容量j时，我们不能将该物品装入背包中，因此dp[i][j] = dp[i-1][j]，即等于前i-1件物品装入容量为j的背包中所能获得的最大价值。
2. 当第i件物品的体积vi小于等于背包容量j时，我们可以选择将该物品装入背包中，也可以选择不装入，我们需要取两种情况之间的最大值，即dp[i][j] = max(dp[i-1][j], dp[i-1][j-vi] + wi)。

最后，当所有物品都考虑完毕后，dp[N][V]即为所求的结果，表示将N件物品装入容量为V的背包中所能获得的最大价值。

可以使用一个二维数组dp来存储中间结果，其中dp[i][j]表示将前i件物品装入容量为j的背包中所能获得的最大价值。初始化时，设置dp[0][j] = 0，dp[i][0] = 0。

然后，通过循环依次计算dp[i][j]。最后返回dp[N][V]即可得到最大价值。

这种方法的时间复杂度是O(N*V)，其中N表示物品的个数，V表示背包的容量大小。

### 回答3：
这是典型的0-1背包问题，可以使用动态规划来解决。

假设dp[i][j]表示将前i件物品装入容量为j的背包中所能获得的最大价值。对于dp[i][j]，有两种情况：
1. 第i件物品不放入背包：此时dp[i][j] = dp[i-1][j]，即前i-1件物品在容量为j的背包中所能获得的最大价值。
2. 第i件物品放入背包：此时dp[i][j] = dp[i-1][j-v[i]] + w[i]，即前i-1件物品在容量为j-v[i]的背包中所能获得的最大价值加上第i件物品的价值。

综合上述两种情况，可以得到状态转移方程：
dp[i][j] = max(dp[i-1][j], dp[i-1][j-v[i]] + w[i])

边界条件为dp[0][j] = 0（前0件物品无法装入背包）和dp[i][0] = 0（背包容量为0时无法装入任何物品）。

最终答案为dp[N][V]，即将N件物品装入容量为V的背包中所能获得的最大价值。

可以通过填表格的方式来计算dp数组，从dp[0][0]开始逐行计算直到dp[N][V]。最后的答案即为dp[N][V]。

该问题的时间复杂度为O(NV)，空间复杂度为O(NV)。如果背包容量较大，可以使用滚动数组将空间复杂度优化为O(V)。

有 n 件物品和一个容量是 v 的背包。每件物品只能使用一次。 第 i 件物品的体积是 vi，价值是 wi。 求解将哪些物品装入背包，可使这些物品的总体积不超过背包容量，且总价值最大。 输出最大价值。

这是一个经典的背包问题，需要使用动态规划算法来解决。具体思路是：定义一个二维数组dp[i][j]，表示前i件物品放入容量为j的背包中所能获得的最大价值。则状态转移方程为：

dp[i][j] = max(dp[i-1][j], dp[i-1][j-vi]+wi)

其中，dp[i-1][j]表示不放第i件物品时的最大价值，dp[i-1][j-vi]+wi表示放第i件物品时的最大价值。最终的答案为dp[n][v]，即前n件物品放入容量为v的背包中所能获得的最大价值。

需要注意的是，这里的i和j都是从1开始的，而不是从开始。同时，为了方便计算，可以将物品的体积和价值都乘以一个大于1的常数，使得它们变成整数。