在Python中不使用numpy用按照线性代数的方法，手工计算矩阵D=[[1,2],[3.4]]的特征值和特征向量

在Python中，不依赖于NumPy库，我们可以使用纯Python的方式来计算矩阵的特征值和特征向量。首先，我们定义矩阵`D`：

matrix_D = [[1, 2], [3, 4]]

对于一个2x2矩阵，可以手动进行求解。矩阵的特征多项式由以下公式给出：

\[ |A - \lambda I| = \left|\begin{array}{cc}
d_{11} - \lambda & d_{12} \\
d_{21} & d_{22} - \lambda
\end{array}\right| = (\lambda - d_{11})(\lambda - d_{22}) - d_{12}d_{21}\]

其中\( A \)是原矩阵，\( I \)是单位矩阵，\( \lambda \)是特征值。

特征值就是上述二次方程的根，即：

\[ \lambda_1, \lambda_2 = \frac{d_{11} + d_{22} \pm \sqrt{(d_{11} - d_{22})^2 + 4d_{12}d_{21}}}{2} \]

特征向量对应于每个特征值，则满足 \( (A - \lambda_i I)\mathbf{x}_i = \mathbf{0} \)，可以通过解线性方程组找到。

这里先计算特征值：

import math

d11 = matrix_D[0][0]
d12 = matrix_D[0][1]
d22 = matrix_D[1][1]

det = d11 * d22 - d12 * d21

# 特征值
lambda1 = (d11 + d22 + det) / 2
lambda2 = (d11 + d22 - det) / 2

接下来，为了找到特征向量，我们可以选择一个特征值（例如，\(\lambda_1\)），然后解决线性方程组：

\[ \begin{align*}
(A - \lambda_1 I)x &= \mathbf{0}\\
\begin{bmatrix}
1-\lambda_1 & 2\\
3 & 4-\lambda_1
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \end{bmatrix}
&=
\begin{bmatrix} 0 \\ 0 \end{bmatrix}
\end{align*} \]

这个方程组可以用高斯消元法来解，得到特征向量的一般形式 \( x_1 = k, x_2 = - 1} \)，其中\( k \)是任意非零常数。

不过请注意，对于更大的矩阵，这种方法会变得非常复杂，因为涉及到大量的计算和方程组求解。对于实际应用，还是推荐使用NumPy这样的科学计算库来进行更高效、准确的操作。