分析代码功能，并简化

### 代码功能分析与简化

#### 主要功能
1. **线性空间和内积空间的定义**：
- `linear_space` 类用于表示线性空间，包含基和数域。
- `inner_product_space` 类继承自 `linear_space`，增加了内积的定义，并实现了施密特正交化方法。

2. **元素的表示**：
- `element` 类用于表示线性空间中的元素，支持坐标表示和值表示之间的转换。

3. **线性变换**：
- `linear_transformation` 类用于表示线性变换，包括线性变换在标准正交基下的矩阵表示和应用线性变换的方法。

4. **坐标变换**：
- `basis_coordinate` 函数用于计算元素在不同基下的坐标。
- `trans_basis_matrix` 函数用于计算线性变换在不同基下的矩阵表示。

5. **具体示例**：
- 计算标准正交基及其上的坐标。
- 计算线性变换在标准正交基和其他基下的矩阵表示。

#### 简化版本
以下是一个简化的版本，保留了主要功能，去除了不必要的细节：

import numpy as np
import copy

class LinearSpace:
    def __init__(self, basis=[], number_field=np.complex128):
        self.basis = basis
        self.number_field = number_field

    def dim(self):
        return len(self.basis)

class InnerProductSpace(LinearSpace):
    def __init__(self, basis=[], number_field=np.complex128, inner_product=None):
        super().__init__(basis, number_field)
        self.inner_product = inner_product
        self.gram_schmidt()

    def gram_schmidt(self):
        temp_vectors = copy.deepcopy(self.basis)
        result = []
        for k in range(self.dim()):
            current_vector = temp_vectors[k]
            norm = np.sqrt(self.inner_product(current_vector, current_vector))
            current_vector /= norm
            for j in range(k + 1, self.dim()):
                projection = self.inner_product(current_vector, temp_vectors[j])
                temp_vectors[j] -= projection * current_vector
            result.append(current_vector)
        self.basis = result

class Element:
    def __init__(self, linear_space, info='coordinate', data=[]):
        self.linear_space = linear_space
        if info == 'coordinate':
            self.set_coordinate(data)
        elif info == 'value':
            self.set_value(data)

    def set_coordinate(self, coordinate):
        self.coordinate = np.array(coordinate, dtype=self.linear_space.number_field)

    def set_value(self, value):
        self.coordinate = np.array([self.linear_space.inner_product(value, b) for b in self.linear_space.basis])

    def value(self):
        v = sum(c * b for c, b in zip(self.coordinate, self.linear_space.basis))
        return v

class LinearTransformation:
    def __init__(self, linear_space, transformation):
        self.linear_space = linear_space
        self.transformation = transformation
        self.update_matrix()

    def update_matrix(self):
        transformed_bases = [self.transformation(b) for b in self.linear_space.basis]
        self.matrix = np.array([[self.linear_space.inner_product(tb, b) for tb in transformed_bases] for b in self.linear_space.basis])

    def apply(self, element):
        new_element = Element(self.linear_space, 'coordinate', np.dot(self.matrix, element.coordinate))
        return new_element

def change_of_basis(element, new_basis):
    old_basis = element.linear_space.basis
    C = np.array([Element(element.linear_space, 'value', b).coordinate for b in new_basis]).T
    C_inv = np.linalg.inv(C)
    new_coordinates = np.dot(C_inv, element.coordinate)
    return new_coordinates

def change_of_basis_matrix(transformation, new_basis):
    old_matrix = transformation.matrix
    C = np.array([Element(transformation.linear_space, 'value', b).coordinate for b in new_basis]).T
    C_inv = np.linalg.inv(C)
    new_matrix = np.dot(C_inv, np.dot(old_matrix, C))
    return new_matrix

# 示例
if __name__ == '__main__':
    basis = [np.array([-1, 1]), np.array([-1, 0]), np.array([0, 1])]
    number_field = np.float64
    inner_product = lambda x, y: np.sum(x * y)
    ls = InnerProductSpace(basis, number_field, inner_product)
    
    x = np.array([4, -4])
    x_ele = Element(ls, 'value', x)
    print('x在标准正交基下的坐标:', x_ele.coordinate)
    
    new_basis = [np.array([-1, 1]), np.array([-1, 0]), np.array([0, 1])]
    new_coordinates = change_of_basis(x_ele, new_basis)
    print('x在新基下的坐标:', new_coordinates)
    
    transformation = lambda x: x + np.transpose(x)
    lt = LinearTransformation(ls, transformation)
    print('线性变换在标准正交基下的矩阵:', lt.matrix)
    
    new_matrix = change_of_basis_matrix(lt, new_basis)
    print('线性变换在新基下的矩阵:', new_matrix)

### 解释
1. **类结构**：
- `LinearSpace` 和 `InnerProductSpace` 定义了线性空间和内积空间的基本属性和方法。
- `Element` 类用于表示线性空间中的元素，支持坐标和值的相互转换。
- `LinearTransformation` 类用于表示线性变换，包括矩阵更新和应用变换的方法。

2. **坐标变换**：
- `change_of_basis` 函数用于计算元素在不同基下的坐标。
- `change_of_basis_matrix` 函数用于计算线性变换在不同基下的矩阵表示。

3. **示例**：
- 创建了一个内积空间并计算了一组标准正交基。
- 计算了某个元素在标准正交基和其他基下的坐标。
- 计算了线性变换在标准正交基和其他基下的矩阵表示。

这个简化版本保留了核心功能，同时减少了冗余代码，使逻辑更加清晰。