行列式的转、换、因、分、倍分别是什么

行列式的转、换、因、分、倍分别是指以下操作：
- 转置：将行列式的行和列互换得到的新行列式。
- 换行：将行列式中的两行互换得到的新行列式。
- 换列：将行列式中的两列互换得到的新行列式。
- 倍数因子：将行列式中的某一行或某一列乘以一个数k得到的新行列式。
- 分解：将行列式按照其中一行或一列展开成若干个小行列式的和。

举例来说，对于一个3阶行列式：
$$
\begin{vmatrix}
a_{11} & a_{12} & a_{13} \\
a_{21} & a_{22} & a_{23} \\
a_{31} & a_{32} & a_{33}
\end{vmatrix}
$$
- 转置后得到的新行列式为：
$$
\begin{vmatrix}
a_{11} & a_{21} & a_{31} \\
a_{12} & a_{22} & a_{32} \\
a_{13} & a_{23} & a_{33}
\end{vmatrix}
$$
- 将第1行和第2行互换得到的新行列式为：
$$
\begin{vmatrix}
a_{21} & a_{22} & a_{23} \\
a_{11} & a_{12} & a_{13} \\
a_{31} & a_{32} & a_{33}
\end{vmatrix}
$$
- 将第2列和第3列互换得到的新行列式为：
$$
\begin{vmatrix}
a_{11} & a_{13} & a_{12} \\
a_{21} & a_{23} & a_{22} \\
a_{31} & a_{33} & a_{32}
\end{vmatrix}
$$
- 将第2行乘以2得到的新行列式为：
$$
\begin{vmatrix}
a_{11} & a_{12} & a_{13} \\
2a_{21} & 2a_{22} & 2a_{23} \\
a_{31} & a_{32} & a_{33}
\end{vmatrix}
$$
- 将第1行展开得到的新行列式为：
$$
\begin{vmatrix}
a_{22} & a_{23} \\
a_{32} & a_{33}
\end{vmatrix}
a_{11}
-
\begin{vmatrix}
a_{21} & a_{23} \\
a_{31} & a_{33}
\end{vmatrix}
a_{12}
+
\begin{vmatrix}
a_{21} & a_{22} \\
a_{31} & a_{32}
\end{vmatrix}
a_{13}
$$