支持向量机的算法原理

### 支持向量机算法原理

#### 定义和支持向量的概念
支持向量机（SVM）是一种监督学习模型，用于分类和回归分析。其目标是在特征空间中找到一个最优超平面，使得不同类别的样本能够被尽可能清晰地区分开来[^1]。

对于线性可分的数据集来说，存在多个可以将两类数据完全分离的超平面；但是这些超平面对新数据点可能具有不同的泛化能力。为了获得更好的泛化性能，SVM寻找的是距离最近的数据点最远的那个超平面——即所谓的最大间隔超平面。位于这个边界的那些训练样例被称为支持向量[^3]。

#### 数学表达形式
优化问题是通过二次规划实现的支持向量分类的核心部分。具体而言，在构建SVM时会涉及到求解如下带约束条件下的最小化问题：

\[
\min_{w,b} \frac{1}{2}\| w \| ^2 \\
subject \;to : y_i(w^T x_i+b)-1 \geq 0,\quad i=1,...,n,
\]

其中 \(y\) 表示类别标签 (\(+1\) 或者 \(-1\)) ，\(x\) 是输入变量或特征向量，而参数 \(w\) 和偏置项 \(b\) 则定义了决策边界的位置与方向。

当遇到非线性的分布情况时，则可以通过引入核技巧(kernel trick)，间接映射到高维甚至无限维度的空间内再做线性划分，从而解决原始低维空间里无法有效分割的问题[^2]。

#### 实现过程概述
实际应用过程中，用户只需要提供输入特征矩阵 `X` 和对应的目标值 `Y` 给定SVM算法即可完成建模工作。值得注意的一点是，在调用具体的库函数之前还需要选定合适的惩罚因子C以及选择恰当类型的核函数等超参设置[^4]。

from sklearn import svm
clf = svm.SVC(C=1.0, kernel='rbf', gamma='scale')
clf.fit(X_train, y_train)
predictions = clf.predict(X_test)