用C语言编程实现梯度下降算法，并对f(x)=x2(x的平方）进行验证。

在C语言中，我们可以使用基本数学运算和循环结构来实现梯度下降算法。梯度下降是一种优化算法，常用于寻找函数最小值，对于函数f(x) = x^2，它的目标是最小化x的平方。

以下是一个简单的例子，假设我们有一个一维线性模型，目标是找到能使模型损失函数最小的theta值：

#include <stdio.h>
#include <math.h>

// 函数 f(x) = x^2 的定义
double quadratic_function(double x) {
    return x * x;
}

// 梯度下降函数
void gradient_descent(double learning_rate, double initial_theta, double tolerance, double* theta, double* function_value, int max_iterations) {
    double current_theta = initial_theta;
    double current_function_value = quadratic_function(current_theta);
    for (int i = 0; i < max_iterations; ++i) {
        double gradient = 2 * current_theta; // 对于f(x) = x^2，导数始终是2x

        if (fabs(gradient) < tolerance) { // 如果梯度足够小，认为收敛
            break;

        } else {
            current_theta -= learning_rate * gradient; // 更新theta
            current_function_value = quadratic_function(current_theta); // 计算新的函数值
        }
    }

    *theta = current_theta;
    *function_value = current_function_value;
}

int main() {
    const double learning_rate = 0.01;
    double initial_theta = 5.0;
    double tolerance = 1e-6;
    double max_iterations = 1000;
    double* best_theta = &initial_theta;
    double best_function_value;

    gradient_descent(learning_rate, initial_theta, tolerance, best_theta, &best_function_value, max_iterations);

    printf("最优解theta: %.4lf\n", *best_theta);
    printf("最小函数值f(x): %.4lf\n", best_function_value);

    return 0;
}

这个程序会不断迭代更新`theta`，直到满足停止条件（如梯度小于某个阈值），找到使f(x)达到最低点的theta值。你可以运行这个程序并观察结果，它应该会给出接近于0的theta值，因为f(x) = x^2的最小值在x=0处。