改进的黄金分割法matlab

改进的黄金分割法是一种数值优化算法，用于在给定函数中寻找极小值点。它通过将搜索区间逐步缩小，以有效地找到极小值点。在每一次迭代中，根据函数值的比较，更新搜索区间的边界，然后计算新的黄金分割点。这个过程一直进行，直到搜索区间足够小，以达到所需的精度。

在MATLAB中实现改进的黄金分割法，可以按照以下步骤进行：

1. 首先，定义要进行优化的函数，例如f(x)。
2. 初始化搜索区间的上界xu和下界xl。
3. 计算初始的黄金分割点x1和x2：
- x1 = xl + (1 - φ) * (xu - xl)
- x2 = xl + φ * (xu - xl)，其中φ是黄金分割比例（约为0.618）。
4. 计算f(x1)和f(x2)的值。
5. 根据比较结果，更新搜索区间的边界：
- 若f(x1) < f(x2)，则更新搜索区间为[xl, x2]。
- 若f(x1) > f(x2)，则更新搜索区间为[x1, xu]。
6. 重复步骤3至步骤5，直到搜索区间足够小，达到所需的精度。
7. 最终的优化结果为搜索区间的中点。

相关问题

matlab外推法和黄金分割法程序代码

Matlab中提供了多种数值优化方法，包括外推法（Interpolation）和黄金分割搜索（Golden Section Search）。外推法通常用于数据插值，而黄金分割搜索则是一种搜索算法，用于寻找在一个给定区间内的最小值。

**外推法（数据插值）**：
在MATLAB中，可以使用`interp1`或` interp2`等函数进行一维或二维的数据插值。例如，线性插值可以通过以下方式实现：

% 假设我们有一个x和y的数据点
x_data = [1, 2, 3, 4, 5];
y_data = [2, 4, 6, 8, 10];

% 创建一个插值函数
f_interpolant = interp1(x_data, y_data, 'linear');

% 对新的x值进行插值
new_x = 3.5;
predicted_y = f_interpolant(new_x);

**黄金分割搜索**：
黄金分割搜索在MATLAB中没有内置函数，但你可以手动实现该算法。这里是一个简单的示例：

function [minimum, minimum_index] = goldenSectionSearch(f, a, b, tol)
    % 初始化参数
    golden_ratio = (sqrt(5) + 1) / 2; % 黄金分割比例
    max_iter = 1000; % 最大迭代次数

    % 检查边界
    if abs(f(a)) < abs(f(b))
        minimum = f(a);
        minimum_index = a;
    else
        minimum = f(b);
        minimum_index = b;
    end

    % 迭代搜索
    for iter = 1:max_iter
        c = a + golden_ratio * (b - a); % 计算c点
        if f(c) < f(minimum_index) && f(c) * f(a) < 0
            b = c; % 更新右边界
            minimum = f(c);
            minimum_index = c;
        elseif f(c) > f(minimum_index) && f(c) * f(b) < 0
            a = c; % 更新左边界
        else
            break; % 达到精度或无更多改进，退出循环
        end

        if abs(b - a) < tol || abs(minimum) < tol
            break; % 达到精度阈值
        end
    end
end

% 使用示例
function_value = @(x) x^2; % 设定一个函数
[min_val, min_index] = goldenSectionSearch(function_value, 0, 1, 1e-6);

拟牛顿法求解matlab

### 使用Matlab实现拟牛顿法求解

#### 拟牛顿法简介
拟牛顿法是一类用于解决无约束最优化问题的方法，这类方法通过近似二阶导数矩阵（Hessian 矩阵）来改进计算效率并减少存储需求。DFP (Davidon-Fletcher-Powell) 是最早的拟牛顿算法之一，在每次迭代过程中更新 Hessian 矩阵的逆矩阵估计值[^1]。

#### 黄金分割法与Wolfe-Powell条件下的DFP拟牛顿法实现
为了展示如何在 Matlab 中实现这两种不同类型的线搜索策略配合 DFP 方法，下面提供了相应的代码片段：

对于 **黄金分割法** 的精确一维搜索：

function alpha = golden_section_search(f, a, b, tol)
% f为目标函数句柄；a,b为初始区间端点；tol为精度阈值
phi = (sqrt(5)-1)/2;
c = b-a; d = c*phi;
x1=a+d*(1-phi); x2=b-d;
while abs(b-a)>tol
    if feval(f,x1)<feval(f,x2)
        b=x2; x2=x1; c=c*d; x1=a+c*(1-phi);
    else
        a=x1; x1=x2; c=c*d; x2=b-c*(1-phi);
    end
end
alpha=(b+a)/2;

而对于采用 **Wolfe-Powell不精确搜索准则** 的情况，则可以调用内置的一维搜索工具 `fminsearch` 或者编写自定义版本满足特定要求。这里给出一个简单的框架：

function [x_opt,fval]=dfp_wolfe_powell(fun,gfun,H0,x0,maxiter,tol)
% fun:目标函数 gfun:梯度函数 H0:Hessian初值 x0:起始点 maxiter:最大迭代次数 tol:终止误差限
n=length(x0); % 维数
I=eye(n,n);   % 单位矩阵
H=H0;         % 初始化Hessian矩阵
for k=1:maxiter
    gk=gfun(x0);          % 计算当前点处的梯度
    pk=-inv(H)*gk;        % 方向d_k由负曲率方向决定
    
    % Wolfe-Powell 条件下寻找步长α
    options=optimset('TolX',1e-8,'MaxFunEvals',1000);
    [~,~,exitflag,output,alpha]=linsearch(@lineSearch meritFunction,...
                                          'wolfe-powell',...
                                          {'meritFuncArgs',{fun,x0,pk},'options',options});
    
    sk=alpha.*pk;           % 步长乘以方向得到移动量s_k
    x_next=x0+sk;            % 更新位置至新一点x_{k+1}
    g_next=gfun(x_next);     % 新点上的梯度g_(k+1)

    yk=g_next-gk;             % 差分y_k=y_(k+1)-yk
    rho=1/(yk'*sk);

    I_minus_rho_sk_yk=I-rho*(sk*yk');
    H=I_minus_rho_sk_yk*H*I_minus_rho_sk_yk'+rho*sk*sk';  % 更新Hessian矩阵

    norm_gnext=sqrt(g_next'*g_next);
    fprintf('Iteration:%d Norm of gradient=%f\n',k,norm_gnext);
    if(norm_gnext<tol), break; end       % 达到收敛标准则停止循环
    x0=x_next;
end
if exitflag>0 && norm_gnext<=tol
    disp(['Optimization completed successfully after ',num2str(k),' iterations.']);
else
    warning('Maximum number of iterations exceeded or failed to converge.');
endif
x_opt=x0;
fval=fun(x0);

上述代码实现了基于Dfp公式的拟Newton算法，并结合了两种不同的线搜索方式——一种是经典的黄金分割法作为精确搜索手段，另一种则是更灵活但也更为复杂的Wolfe-Powell非精确搜索方案。实际应用时可根据具体场景选择合适的方式[^2]。