89^56mod14

要计算89^56mod14，首先需要计算89的56次方。由于56是偶数，我们可以利用指数的二分性质来简化计算。

首先计算89的平方，得到7921。接下来，将结果平方得到63504961，再平方得到4025044075041。然后，将结果与89相乘，得到357408099905249。再将结果平方得到127580259995929601，再平方得到16215650396085590529521。最后，将结果与89相乘得到1441784400498353555716869。

现在，我们需要计算所得结果除以14的余数。我们可以使用除法算术来计算余数，也可以使用逆元的概念来计算。

14的逆元是8，即14×8≡1mod14。因此，我们可以将结果1441784400498353555716869乘以8，得到11534275203986828445734952。然后，计算这个结果除以14的余数，得到8。

因此，89的56次方对14取模的结果为8。

相关问题

下列同余式有解的是(） • A.2x=15(mod14) B.31x=15(mod9) C.60x=97(mod18) • D.42x=142(mod 56)

同余方程有解的充分必要条件是：等式两端的最大公约数能够整除同余式中模数和常数的最大公约数。因此，我们需要分别计算每个同余式中模数和常数的最大公约数，并判断它们是否能够被等式两端的最大公约数整除。

A. 2x = 15 (mod 14)

等式两端的最大公约数为 1，因为 2 和 14 没有公共因子。同余式中模数和常数的最大公约数也为 1，因为 14 和 15 没有公共因子。因此，这个同余式有解。

B. 31x = 15 (mod 9)

等式两端的最大公约数为 1，因为 31 和 9 没有公共因子。同余式中模数和常数的最大公约数为 3，因为 9 和 15 都能被 3 整除，但是 31 不能被 3 整除。因此，这个同余式无解。

C. 60x = 97 (mod 18)

等式两端的最大公约数为 1，因为 60 和 18 没有公共因子。同余式中模数和常数的最大公约数为 1，因为 18 和 97 没有公共因子。因此，这个同余式有解。

D. 42x = 142 (mod 56)

等式两端的最大公约数为 2，因为 42 和 56 都能被 2 整除，而 142 不能被 2 整除。同余式中模数和常数的最大公约数也为 2，因为 56 和 142 都能被 2 整除。因此，我们需要将同余式两端同时除以 2，得到 21x = 71 (mod 28)，然后再进行判断。等式两端的最大公约数为 1，因为 21 和 28 没有公共因子。同余式中模数和常数的最大公约数也为 1，因为 28 和 71 没有公共因子。因此，这个同余式有解。

因此，有解的同余式是 A、C 和 D。

x2 mod 65 = 9

首先，我们需要找到模数 65 的质因数分解：$65 = 5 \times 13$。

接下来，我们可以使用中国剩余定理来求解。设 $x_1$ 和 $x_2$ 分别为满足条件的解。

对于模数 5，我们有 $x_1^2 \equiv 9 \pmod 5$，解出 $x_1 \equiv 2 \pmod 5$ 或 $x_1 \equiv 3 \pmod 5$。

对于模数 13，我们有 $x_2^2 \equiv 9 \pmod {13}$，解出 $x_2 \equiv 5 \pmod {13}$ 或 $x_2 \equiv 8 \pmod {13}$。

现在我们需要将 $x_1$ 和 $x_2$ 组合成一个解，满足 $x \equiv x_1 \pmod 5$ 且 $x \equiv x_2 \pmod {13}$。

根据中国剩余定理，$x$ 可以表示为 $x \equiv a_1 m_1 y_1 + a_2 m_2 y_2 \pmod {m_1 m_2}$，其中 $m_1 = 5$，$m_2 = 13$，$a_1 = 2$，$a_2 = 5$，$y_1$ 和 $y_2$ 分别是 $m_1$ 和 $m_2$ 的逆元。

首先，我们需要求解逆元。根据扩展欧几里得算法，我们可以求出 $5^{-1} \equiv 3 \pmod {13}$ 和 $13^{-1} \equiv 5 \pmod 5$。

然后，我们将上述值代入公式，得到 $x \equiv 2 \times 13 \times 5 + 5 \times 5 \times 3 \pmod {65}$。化简后得到 $x \equiv 109 \pmod {65}$。

因此，方程 $x^2 \equiv 9 \pmod {65}$ 的解为 $x \equiv 109 \pmod {65}$ 或 $x \equiv 56 \pmod {65}$。