matlab模态振型曲率

### 计算和绘制模态振型曲率

在MATLAB中计算和绘制模态振型曲率涉及多个步骤，主要包括结构动力学分析中的有限元法求解固有频率和振型向量。一旦获得了这些参数，就可以进一步计算曲率并将其可视化。

#### 获取振动模式形状
通常情况下，工程师会利用有限元软件来得到系统的模态矩阵Φ，其中每一列代表一个特定自然频率对应的广义坐标下的位移分布情况。对于简单的梁或板结构来说，可以直接调用内置函数`eig()`来进行特征值分解从而获得所需的数据[^1]。

% 定义质量矩阵 M 和刚度矩阵 K (假设已知)
[M,K] = ...; 

% 执行特征值问题求解
[V,D] = eig(K,M);

这里 `V` 是由各阶模态组成的正交阵，即所谓的“模态矩阵”，而 `D` 则是对角线上存储着相应固有圆频率平方的对角方阵。

#### 模态振型曲率计算
为了从上述所得的模态矢量转换成易于理解的形式——也就是常说的“振型曲线”—可以采取差分近似的方法估算节点处的一阶导数（斜率），进而推断二阶导数值作为该位置上的弯曲程度指标：

设某阶模态对应于离散化后的n个自由度，则其第j个方向上任意一点k处的局部曲率κ(k)可表达为：
\[ \kappa_k=\frac{\phi_{k+1}-2\phi_k+\phi_{k-1}}{h^2} \]

其中 \( h \) 表示相邻两结点间距离；\( \phi_i \)(i=k−1,k,k+1)分别指代前后两个以及当前考察对象所在单元中心点沿指定维度测量到的最大偏转幅度。

具体实现如下所示:

function curvature = computeCurvature(modeShape, dx)
    n = length(modeShape)-2;
    curvature = zeros(size(modeShape));
    
    for i = 2:n+1
        curvature(i) = (modeShape(i+1) - 2*modeShape(i) + modeShape(i-1)) / dx^2;
    end
    
    % 边界条件处理
    curvature(1) = curvature(2); 
    curvature(end) = curvature(end-1);
end

此代码片段定义了一个名为`computeCurvature` 的辅助函数用于接收单个模态形态及其网格间距dx，并返回相应的曲率数组。

#### 绘制结果
最后一步就是将之前准备好的数据呈现出来以便直观观察。考虑到不同阶段可能关注的重点有所区别，因此建议单独创建子图窗口展示原始形貌连同伴随产生的变形趋势线。

figure;

subplot(2,1,1);
plot(x, V(:,m)); title(['Mode Shape of Mode ', num2str(m)]);
xlabel('Position'); ylabel('Displacement');

subplot(2,1,2);
curv = computeCurvature(V(:, m), spacing);
plot(x, curv); title('Corresponding Curvature');
xlabel('Position'); ylabel('Curvature Value');

以上脚本先显示选定编号为m的模态图形，紧接着在同一张图表下方附上了经前述过程得出的曲率变化状况。