2.考察函数 ， 将区间[-5,5]分为n等分，以Pn(x)表示取n+1个分点作节点的插值多项式，编写程序对[-5,5]间隔0.5进行插值，并将插值所得曲线绘图和原函数图像进行比较（n分别取2,10，每种情况分别比较）。

在Python中，我们可以使用Scipy库中的`linspace`函数来生成等间距的点，然后利用这些点计算Lagrange插值多项式。下面是一个简单的示例，演示了如何实现这个过程：

import numpy as np
from scipy.interpolate import lagrange
import matplotlib.pyplot as plt

# 函数 f(x) = x^2 + 1 在 [-5, 5] 的定义
def func(x):
    return x**2 + 1

# 定义插值函数
def interpolate(n, x_min=-5, x_max=5, step=0.5):
    # 分割区间并获取节点
    nodes = np.linspace(x_min, x_max, n + 1)
    
    # 计算Lagrange插值多项式
    interpolation_poly = [lagrange(nodes[:-1], x) for x in nodes[1:]]
    
    return nodes, interpolation_poly

# 比较原始函数和插值结果
for n in [2, 10]:
    x_nodes, p_nodes = interpolate(n, step=0.5)

    # 插值曲线
    interpolated_values = np.array([p_nodes[i](x_nodes) for i in range(len(p_nodes))])

    # 绘制原始函数和插值曲线
    plt.figure(figsize=(8, 6))
    plt.plot(x_nodes, func(x_nodes), 'b-', label=f'Original Function (n={n})')
    plt.plot(x_nodes, interpolated_values, 'r:', label=f'Interpolated Polynomial (n={n})')

    plt.legend()
    plt.title(f"Interpolation Comparison (Step: {step})")
    plt.grid(True)
    plt.show()

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