1268:【例9.12】完全背包问题

完全背包问题是一个经典的动态规划问题，在给定背包容量和一组物品的重量和价值的情况下，如何选择物品放入背包中，使得总价值最大化。

举个例子来说明，假设背包容量为C，有n个物品，每个物品的重量分别为w1, w2, ..., wn，对应的价值为v1, v2, ..., vn。我们需要选择哪些物品放入背包中，使得总价值最大。

可以使用动态规划的方法来解决这个问题。定义一个二维数组dp[i][j]，其中dp[i][j]表示前i个物品放入容量为j的背包中所能达到的最大价值。

状态转移方程为：
dp[i][j] = max(dp[i-1][j], dp[i][j-wi] + vi)

其中，dp[i-1][j]表示不选择第i个物品，dp[i][j-wi] + vi表示选择第i个物品放入背包中。

最终的结果就是dp[n][C]，即前n个物品放入容量为C的背包中所能达到的最大价值。

这个问题可以通过动态规划的思想进行求解，时间复杂度为O(nC)。同时可以通过空间优化，将二维数组优化为一维数组，降低空间复杂度为O(C)。

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1268：【例9.12】完全背包问题 时间限制: 1000 ms 内存限制: 65536 KB 提交数: 32325 通过数: 17348 【题目描述】 设有n 种物品，每种物品有一个重量及一个价值。但每种物品的数量是无限的，同时有一个背包，最大载重量为M ，今从n 种物品中选取若干件(同一种物品可以多次选取)，使其重量的和小于等于M ，而价值的和为最大。 【输入】 第一行：两个整数，M (背包容量，M≤200 )和N (物品数量，N≤30 )； 第2..N+1 行：每行二个整数Wi,Ci ，表示每个物品的重量和价值。 【输出】 仅一行，一个数，表示最大总价值。 【输入样例】 10 4 2 1 3 3 4 5 7 9 【输出样例】 max=12

题意描述

有 $n$ 种物品，每种物品有一个重量 $w_i$ 和价值 $v_i$，数量不限。将它们装入重量为 $M$ 的背包，使得背包内物品的总价值最大。输出该最大总价值。

分析

完全背包问题，可使用 DP 解决，无法使用贪心策略。DP 状态定义为 $f(i,j)$：考虑前 $i$ 件物品，背包容量为 $j$ 时所能获得的最大价值。

考虑 $w_i \le j$ 时，可以将第 $i$ 种物品放入背包。则有 $f(i,j) = f(i,j-w_i)+v_i$。

否则，无法将此物品放入背包，因此最优策略是不选第 $i$ 种物品。则有 $f(i,j) = f(i-1,j)$。

最终答案为 $\max\limits_{j=0}^M f(n,j)$。

在 DP 中，循环枚举的顺序很重要。在完全背包问题中，每件物品可以无限次选取，因此对于每一种物品 $i$，我们应当考虑选取 $0, 1, 2, \ldots, \lfloor \frac{M}{w_i} \rfloor$ 件物品。因此枚举顺序为：先枚举物品，再枚举背包容量。

具体实现中，每种物品的枚举应当采用倒序，即从大到小枚举，这样可以避免多次使用某件物品。

代码实现

代码实现非常简单，只需根据状态转移方程填写 DP 数组即可，时间复杂度为 $O(NM)$。