加权隐式格式matlab求解抛物方程

加权隐式格式是一种用于求解抛物方程的数值方法，它通过将未知数在未来时间步长处进行加权平均来实现。在Matlab中，可以使用该方法来求解抛物方程。

首先，我们需要将抛物方程离散为差分方程。假设抛物方程为：

∂u/∂t = α(∂²u/∂x² + ∂²u/∂y²)

其中，α是扩散系数。将其离散化得到：

(u(i,j) - u_old(i,j))/Δt = α((u(i+1,j) - 2u(i,j) + u(i-1,j))/(Δx)² + (u(i,j+1) - 2u(i,j) + u(i,j-1))/(Δy)²)

其中，u(i,j)表示网格点(i,j)处的未知数，u_old(i,j)表示上一时间步长时该点的值。

根据加权隐式格式的思想，我们对时间项进行加权平均。假设使用θ方法，其中0 ≤ θ ≤ 1，有：

(u(i,j) - u_old(i,j))/Δt = θ * α((u(i+1,j) - 2u(i,j) + u(i-1,j))/(Δx)² + (u(i,j+1) - 2u(i,j) + u(i,j-1))/(Δy)²) + (1 - θ) * α((u(i+1,j) - 2u(i,j) + u(i-1,j))/(Δx)² + (u(i,j+1) - 2u(i,j) + u(i,j-1))/(Δy)²)

将其整理可得：

-θ * α(u(i+1,j) + u(i-1,j)) + (2θ * α + 1 + 2θ * α) * u(i,j) - θ * α(u(i,j+1) + u(i,j-1)) = u_old(i,j)

得到了离散化的加权隐式格式方程。可以使用该方程通过迭代的方法来求解抛物方程。具体算法如下：

1. 初始化网格和初始条件：设置网格大小，初始条件，时间步长，迭代次数等参数。
2. 迭代求解：使用循环结构迭代计算网格中各个点的值，直到达到指定的迭代次数。
3. 更新未知数：根据上述加权隐式格式方程，计算网格中每个点的新值。
4. 重复步骤2和3，直到达到指定的迭代次数或达到停止条件。
5. 输出结果：将求解得到的网格中各个点的值作为数值解。

利用Matlab的矩阵运算功能，可以高效地实现加权隐式格式的迭代计算过程，从而求解抛物方程。