运动会开了N天,一共发出金牌M枚。第1天发金牌1枚加剩下的七分之一枚,第2天发金牌2枚加剩下的七分之一枚,第3天发金牌3枚加剩下的七分之一枚,以后每天都照此办理。到了第N天刚好还有金牌N枚,到此金牌全部发完。请设计递归算法求N和M。
时间: 2024-10-15 08:17:55 浏览: 14
这是一个经典的数学问题,通常称为“兔子和萝卜”或“等差数列变型”的递归形式。我们可以设N枚金币最后一天恰好发完,那么前一天它应该有 \( N + \frac{1}{7}N = \frac{8}{7}N \) 枚。同理,倒数第二天有 \( \frac{8}{7}N - \frac{2}{7}N = \frac{6}{7}N \),以此类推。
递归公式可以表示为:
- 如果第n天有金币 \( M_n = n \),则前一天 \( M_{n-1} = n + \frac{1}{7}(M_n - 1) \)
- 因为第N天恰好剩下N枚,所以 \( M_N = N \)
我们可以通过递归的方式计算出第一天的金币数 \( M_1 \),然后回溯到找到总共的金牌总数M。这就是递归算法的思路:
```python
def recursive_gold(n, m):
# 递归结束条件,当n为1时,返回剩余的金牌数m
if n == 1:
return m
else:
# 计算前一天的金牌数,加上剩余的一份
prev_gold = n + (m - 1) / 7
# 递归调用,继续计算前一天的金牌数
return recursive_gold(n - 1, prev_gold)
# 使用递归得到N和M
N = 1 # 最后一天恰好剩N枚金牌,即 N = M_N
M = recursive_gold(N, N)
```
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运动会开了n天,一共发出金牌m枚。第一天发金牌1枚加剩下的七分之一枚,第二天发金牌2枚加剩下的七分之一枚,第3天发金牌3枚加剩下的七分之一枚,以后每天都照此办理。到了第n天刚好还有金牌n枚,到此金牌全部发完。编程求n和m。
这道题可以使用逆推法来解决。
首先,我们可以知道最后一天发出的金牌数量为n,那么倒数第二天发出的金牌数量就是7/6 * n,倒数第三天发出的金牌数量就是7/6 * (7/6 * n),以此类推,第一天发出的金牌数量就是7/6的n次方。
因此,我们可以从第n天开始逆推,每一天发出的金牌数量都可以根据上一天的金牌数量计算得出。最后,将每一天发出的金牌数量相加,就可以得到总共发出的金牌数量m。
具体的代码实现如下:
n = int(input("请输入运动会开了几天:"))
m = 0
gold = 0
for i in range(n, 0, -1):
gold = (gold + n) * 7 / 6
m += gold
print("金牌数量为:", int(m))
print("发出的金牌数量为:", int(gold))
运动会开了 N 天,一共发出金牌 M 枚。第一天发金牌 1 枚加剩下的七分之一枚,第二天 发金牌 2 枚加剩下的七分之一枚,第 3 天发金牌 3 枚加剩下的七分之一枚,以后每天都照此 办理。到了第 N 天刚好还有金牌 N 枚,到此金牌全部发完。编程求 N 和 M。
好的,这是一个比较经典的算法问题,可以使用数学方法进行求解。我们设第一天发出的金牌数为 x,则:
第二天发出的金牌数为 2x - (1/7)x = (13/7)x
第三天发出的金牌数为 3x - (1/7)x - (1/7)((13/7)x) = (183/49)x
第四天发出的金牌数为 4x - (1/7)x - (1/7)((13/7)x) - (1/7)((183/49)x) = (4851/2401)x
以此类推,可以得到第 N 天发出的金牌数为:
Nx - (1/7)x - (1/7)((13/7)x) - ... - (1/7)^{N-2}((183/49)x) - (1/7)^{N-1}((4851/2401)x) = Nx
移项可得:
(6/7)^{N-1}((1 + 13/7 + ... + (183/49) + (4851/2401))x) = Nx
因此,我们可以先求出括号里的和,记为 S,然后根据已知条件求解 x 和 Nx,最后得到 N 和 M。具体实现可以参考如下代码(使用 Python 语言):