如何使用Maple软件中的`Sum`函数和审敛法来判断函数项级数`∑(1/(k*(k+1)))`的收敛性？请提供详细步骤和示例。

Maple是一个集成了多种数学工具的计算机代数系统，它在处理数学问题，尤其是级数求和及审敛性分析方面表现卓越。现在，让我们探索如何使用Maple来确定函数项级数`∑(1/(k*(k+1)))`的收敛性。首先，打开Maple软件，然后按照以下步骤操作：

参考资源链接：[Maple求和与审敛法：数值级数与函数项级数](https://wenku.csdn.net/doc/urtnmab6gu?spm=1055.2569.3001.10343)

1. 使用`Sum`函数进行级数求和：在Maple中输入`Sum(1/(k*(k+1)), k=1..infinity)`，Maple将计算这个无限级数的和。由于`1/(k*(k+1))`可以被化简为`1/k - 1/(k+1)`，这个级数实际上是一个简单级数，其和可以得到一个闭合形式的解。

2. 求和结果分析：Maple会显示级数的和为1，这是一个有限的值，表明级数收敛。

3. 审敛法的应用：为了进一步验证这个结果，我们可以使用审敛法，比如比较测试。我们可以找到一个已知收敛的级数，比如`∑(1/k^2)`，并证明`1/(k*(k+1))`的每一项都小于`1/k^2`的对应项，即`1/(k*(k+1)) < 1/k^2`。由于`∑(1/k^2)`是已知收敛的（p-级数，p>1），根据比较测试，`∑(1/(k*(k+1)))`也应该收敛。

4. 使用Maple的`TestSeries`函数：Maple还提供了一个`TestSeries`函数，可以直接用于测试级数的收敛性。输入`TestSeries(1/(k*(k+1)), k=1..infinity)`，Maple会自动应用一系列测试方法，给出级数是否收敛的判断。

通过以上步骤，我们可以确认级数`∑(1/(k*(k+1)))`是收敛的，并且Maple在求和和审敛法两方面都提供了有效的工具来辅助这一过程。

如果你想要深入学习Maple在处理级数和审敛法方面的更多功能，推荐参考《Maple求和与审敛法：数值级数与函数项级数》一书。这份资料详细介绍了Maple如何用于级数求和、审敛法判断以及计算机代数系统在科学计算中的应用，将为你提供更深层次的理解和操作指南。

参考资源链接：[Maple求和与审敛法：数值级数与函数项级数](https://wenku.csdn.net/doc/urtnmab6gu?spm=1055.2569.3001.10343)