给出matlab解答

为了完成作业中的 MATLAB 解答部分，我们需要逐步实现以下步骤：

### 1. 导出线性时不变（LTI）状态空间模型
首先，我们根据给定的动力学方程导出 LTI 状态空间模型。

#### 动力学方程
\[
\begin{cases}
\dot{v} = \frac{k_1 + k_2}{mu} v - \left(\frac{bk_2 - ak_1}{mu} + u\right) r - \frac{k_1}{mu} \delta \\
\dot{r} = \frac{ak_1 - bk_2}{I_{zz}u} v + \left(\frac{a^2 k_1 + b^2 k_2}{I_{zz}u}\right) r - \frac{ak_1}{I_{zz}} \delta
\end{cases}
\]

选择状态变量 \( x = [y, \theta, v, r]^T \)，输出为 \( z = [y_r] \)。

#### 状态空间形式
\[
\begin{aligned}
\dot{x} &= A x + B \delta_s \\
z &= C x
\end{aligned}
\]
其中，
\[
A = \begin{bmatrix}
0 & 0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1 \\
0 & 0 & \frac{k_1 + k_2}{mu} & -\left(\frac{bk_2 - ak_1}{mu} + u\right) \\
0 & 0 & \frac{ak_1 - bk_2}{I_{zz}u} & \frac{a^2 k_1 + b^2 k_2}{I_{zz}u}
\end{bmatrix}, \quad
B = \begin{bmatrix}
0 \\
0 \\
-\frac{k_1}{mu} \\
-\frac{ak_1}{I_{zz}}
\end{bmatrix}
\]
\[
C = \begin{bmatrix}
1 & 0 & 0 & 0
\end{bmatrix}
\]

### 2. 检查可控性和可观测性
使用 MATLAB 中的 `ctrb` 和 `obsv` 函数来检查系统的可控性和可观测性。

% 定义系统参数
k1 = -12000; % 前轮侧偏刚度 (N/rad)
k2 = -8000;  % 后轮侧偏刚度 (N/rad)
a = 1.6;     % 质心到前轴的距离 (m)
b = 1.1;     % 质心到后轴的距离 (m)
m = 1200;    % 车辆质量 (kg)
Izz = 1500;  % 绕z轴的转动惯量 (kg*m^2)
u = 15;      % 长itudinal速度 (m/s)
is = 16.9;   % 方向盘比例系数

% 计算状态矩阵和输入矩阵
A = [0, 0, 1, 0;
     0, 0, 0, 1;
     0, 0, (k1 + k2)/(m*u), -(b*k2 - a*k1)/(m*u) - u;
     0, 0, (a*k1 - b*k2)/(Izz*u), (a^2*k1 + b^2*k2)/(Izz*u)];
B = [0; 0; -k1/(m*u); -a*k1/Izz];
C = [1, 0, 0, 0];

% 创建状态空间模型
sys = ss(A, B, C, 0);

% 检查可控性
rank_ctrb = rank(ctrb(A, B));
disp(['Controllability rank: ', num2str(rank_ctrb)]);

% 检查可观测性
rank_obsv = rank(obsv(A, C));
disp(['Observability rank: ', num2str(rank_obsv)]);

% 计算特征值
eigvals = eig(A);
disp('Eigenvalues:');
disp(eigvals);

% 检查稳定性
if all(real(eigvals) < 0)
    disp('System is stable.');
else
    disp('System is unstable.');
end

### 3. 使用 MATLAB/Simulink 构建状态空间模型
在 MATLAB 中创建一个 Simulink 模型，并添加状态空间模块来表示上述系统。

1. 打开 Simulink 并创建一个新的模型。
2. 添加一个 `State-Space` 模块，并将 `A`, `B`, `C`, `D` 矩阵设置为上面计算的值。
3. 设置初始条件为零。
4. 连接输入和输出信号。

### 4. 设计并模拟 MPC 控制器
使用 MATLAB 的 MPC 工具箱设计一个模型预测控制器（MPC），并验证其跟踪性能。

% 定义参考路径
t = 0:0.1:100; % 时间向量
y_ref = 2 * sin(0.1 * pi * t); % 参考路径

% 创建MPC控制器
mpcobj = mpc(sys, 0.1); % 采样时间为0.1秒
mpcobj.PredictionHorizon = 10; % 预测时域
mpcobj.ControlHorizon = 2;     % 控制时域

% 设置权重
mpcobj.Weights.OutputVariables = [1 0]; % 输出权重
mpcobj.Weights.ManipulatedVariables = 0.1; % 输入权重

% 模拟MPC控制器
options = mpcsimopt(mpcobj);
optionsSignals = struct('Reference', y_ref');
[~, y, ~, ~] = sim(mpcobj, length(t), options, optionsSignals);

% 绘制结果
figure;
plot(t, y_ref, 'r--', t, y, 'b-');
xlabel('Time (s)');
ylabel('Lateral Position (m)');
legend('Reference Path', 'MPC Tracking');
title('MPC Tracking Performance');
grid on;

以上代码将生成一个图形，显示 MPC 控制器对参考路径的跟踪性能。你可以根据需要调整控制器参数以优化性能。