定理:把一个至少两位的正整数的个位数字去掉,再从余下的数中减去个位数的5倍。当且仅当差是17的倍数时,原数也是17的倍数 。
时间: 2023-05-01 07:03:38 浏览: 105
题目要求:把一个至少两位的正整数的个位数字去掉,再从余下的数中减去一个位数数字的5倍。如果得出的差是17的倍数,原数也是17的倍数。
答案:这是一道数学问题,可以用数学语言来描述。题目的意思是,对于一个正整数 $x$,设其个位数字为 $a$,十位数字为 $b$,则 $x = 10b + a$,且 $x - 10b - 5c = 17k$,其中 $c$ 为 $x$ 的某一位上的数字,$k$ 为某个整数。由此得到 $a - 5c = 17k - 10b$,因此 $a - 5c$ 是偶数,即 $a$ 和 $c$ 奇偶性相同。如果 $x$ 是17的倍数,则 $x - 17k = 10b + a - 17k = 10b + a - 10a + 10c = 10(b - a) + 10c$ 可以被17整除,因此 $b - a + c$ 可以被17整除,这个性质可以用来测试一个正整数是否可行。
相关问题
验证尼科彻斯定理,即:任何一个正整数的立方都可以写成一串连续奇数的和。
### 回答1:
尼科彻斯定理是指,任何一个正整数的立方都可以表示成一串连续奇数的和。这个定理可以通过数学归纳法来证明。首先,当n=1时,1的立方等于1,可以表示成1个奇数1的和。接着,假设对于任意正整数k,k的立方都可以表示成一串连续奇数的和。那么,对于k+1,它的立方可以表示成:
(k+1)³ = k³ + 3k² + 3k + 1
根据归纳假设,k³可以表示成一串连续奇数的和,即:
k³ = (2m+1) + (2m+3) + ... + (2m+2k-1)
将上式代入(k+1)³中,得到:
(k+1)³ = (2m+1) + (2m+3) + ... + (2m+2k-1) + (2k+1) + (2k+3) + (2k+5)
可以看出,上式中的所有奇数都是连续的,因此,k+1的立方也可以表示成一串连续奇数的和。根据数学归纳法,原命题成立。
### 回答2:
验证尼科彻斯定理需要用到数学归纳法。我们可以先用小数据进行验证,例如:
1^3 = 1,可以表示为 1
2^3 = 8,可以表示为 3 + 5
3^3 = 27,可以表示为 7 + 9 + 11
4^3 = 64,可以表示为 13 + 15 + 17 + 19
5^3 = 125,可以表示为 21 + 23 + 25 + 27 + 29
可以发现,每个正整数的立方都可以表示为一串连续奇数之和。现在我们来证明这个结论:
当 n = 1 时,1^3 = 1,只需要表示为一个数即可。
假设对于任意正整数 k,都可以表示为一串连续奇数之和,即:
k^3 = a + (a+2) + (a+4) + ... + (a+2k-2)
那么对于 k+1,其立方为 (k+1)^3,可以表示为:
(k+1)^3 = (k^3+3k^2+3k+1)
将 k^3 表示为一串连续奇数之和代入得:
(k+1)^3 = a + 2k^2+2k + (a+2k) + (a+2k+2) + ... + (a+4k)
通过化简得:
(k+1)^3 = (a+2k^2+2k) + (a+2k+2) + (a+2k+4) + ... + (a+4k)
这也是一串连续奇数之和,证毕。
因此,任意正整数的立方都可以表示为一串连续奇数之和。
### 回答3:
尼科彻斯定理是一个非常有趣的数学定理,它给出了任何一个正整数的立方都可以写成一串连续奇数的和。验证这个定理可以通过数学归纳法来完成,下面我将分享验证过程:
首先,我们可以考虑最简单的情况,就是1的立方等于1,也只需要用1个奇数1来表示。这满足了基本情况。
假设对于任意的正整数k,都满足k的立方可以表示成一串连续奇数的和,那么我们来考虑(k+1)的立方该如何表示。根据(k+1)的立方展开式:
(k+1)^3 = k^3 + 3k^2 + 3k + 1
我们可以先用归纳假设将k^3表示成一串连续奇数的和,即:
k^3 = (2n-1) + (2n+1) + ... + (2n+2k-3) + (2n+2k-1)
然后我们将(k+1)^3中的k^3用上式代入,可以得到:
(k+1)^3 = (2n-1) + (2n+1) + ... + (2n+2k-3) + (2n+2k-1) + 3(2k+1)
可以发现新增加的部分为3个连续奇数,因此(k+1)的立方也可以用一串连续奇数的和来表示。
综上所述,尼科彻斯定理得证。
判断一个大于2的正整数n是否为素数,请用至少两种方法实现
题目中给出的判断是否为素数的条件是大于2的整数n是否为正整数,所以我们需要用至少两种方法判断n是否为素数。
方法一:试除法
试除法指的是,对于一个大于2的整数n,将其与小于等于n的所有素数依此相除,如果都不能整除,则n是素数。这个方法的缺点是需要找到小于等于n的所有素数,而素数的判断又需要用到试除法,因此这个方法不是很实用。
方法二:费马小定理
费马小定理是指若p为素数,a是任意整数,则a^p-a能被p整除。可以根据费马小定理写出判断n是否为素数的代码:
def is_prime(n):
if n == 2:
return True
elif n < 2 or n % 2 == 0:
return False
else:
for i in range(3, int(n**0.5)+1, 2):
if n % i == 0:
return False
return True
参考资料:
1. https://zh.wikipedia.org/wiki/%E8%AF%95%E9%99%A4%E6%B3%95
2. https://zh.wikipedia.org/wiki/%E8%B4%B9%E9%A9%AC%E5%B0%8F%E5%AE%9A%E7%90%86