设X与Y是两个⼀阶矩存在的随机变量, 则“X与Y独⽴”是“E(X|Y)=E(X)” 的 条件

首先，我们知道两个随机变量X和Y独立的充分必要条件是它们的联合概率分布等于它们的边缘概率分布的乘积，即P(X,Y) = P(X)P(Y)。

现在，我们来考虑条件E(X|Y) = E(X)。这意味着在给定Y的条件下，X的期望值等于X的边缘期望值。也就是说，Y不影响X的期望值。

如果X和Y独立，那么它们的联合概率分布等于它们的边缘概率分布的乘积，即P(X,Y) = P(X)P(Y)。因此，可以得到：

E(X|Y) = ∫xf(x|y)dx
= ∫x[P(X=x|Y=y)]dx
= ∑x(xP(X=x|Y=y))
= ∑xE(X=x)P(X=x|Y=y)
= E(X)

这里，我们使用了条件概率的定义和全期望公式。

因此，如果X和Y独立，则“X与Y独立”是“E(X|Y) = E(X)”的条件。反之亦然，如果“X与Y独立”是“E(X|Y) = E(X)”的条件，则X和Y独立。