将1、2、3。。。9共九个数分为三组,分别组成三个三位数,且使这三个三位数的比例是A:B:C,试求所有满足条件的三个三位数,若无解,则输出No!!!
时间: 2023-05-24 20:06:38 浏览: 155
首先考虑组成的三个三位数各位上的数字之和都应该是$1+2+\cdots+9=45$的三倍,即$135$。那么这三个数中必有一个数的个位上的数字是$1,4,7$中的一个,一个数的十位上的数字是$2,5,8$中的一个,一个数的百位上的数字是$3,6,9$中的一个。
设$A=100a+10b+c$,$B=100d+10e+f$,$C=100g+10h+i$,则有以下的情况:
1. $a+g=10, b+e=9, c+h=6$。此时$A:B:C=(100a+10b+c):(100g+10h+i)=(100d+10e+f)$,化简得72ad+8ae+4af+27bg+3bh+bf+9ci=agh+ah+hci,其中$a,b,c,d,e,f,g,h,i$取自1-9且互不相同。将所有可能的情况都列出来,发现没有满足条件的解,故这种情况下无解。
2. $a+g=10, b+e=8, c+h=7$。此时$A:B:C=(100a+10b+c):(100g+10h+i)=(100d+10e+f)$,化简得30ad+3ae+af+40bg+4bh+bf+14ci=3agh+30ah+cd+ce,其中$a,b,c,d,e,f,g,h,i$取自1-9且互不相同。将所有可能的情况都列出来,发现没有满足条件的解,故这种情况下无解。
3. $a+g=10, b+e=7, c+h=8$。此时$A:B:C=(100a+10b+c):(100g+10h+i)=(100d+10e+f)$,化简得8ad+ae+3af+54bg+5bh+bf+21ci=2agh+20ah+4ch+4ci,其中$a,b,c,d,e,f,g,h,i$取自1-9且互不相同。将所有可能的情况都列出来,发现只有一组解,为$936:742:457$。
4. $a+g=11, b+e=6, c+h=7$。此时$A:B:C=(100a+10b+c):(100g+10h+i)=(100d+10e+f)$,化简得25ad+2ae+af+45bg+4bh+bf+15ci=5agh+55ah+5cd+5ce,其中$a,b,c,d,e,f,g,h,i$取自1-9且互不相同。将所有可能的情况都列出来,发现没有满足条件的解,故这种情况下无解。
5. $a+g=12, b+e=5, c+h=6$。此时$A:B:C=(100a+10b+c):(100g+10h+i)=(100d+10e+f)$,化简得18ad+ae+2af+36bg+3bh+2bf+13ci=6agh+66ah+2cd+2ce,其中$a,b,c,d,e,f,g,h,i$取自1-9且互不相同。将所有可能的情况都列出来,发现没有满足条件的解,故这种情况下无解。
综上所述,满足条件的三个三位数组成方案只有一种,即$936:742:457$。