两个高斯之间的KL散度计算

假设有两个高斯分布 $P(x)$ 和 $Q(x)$，其均值分别为 $\mu_1$ 和 $\mu_2$，方差分别为 $\sigma_1^2$ 和 $\sigma_2^2$。则它们之间的 KL 散度为：

$$D_{KL}(P\|Q) = \ln\left(\frac{\sigma_2}{\sigma_1}\right)+\frac{\sigma_1^2+(\mu_1-\mu_2)^2}{2\sigma_2^2}-\frac{1}{2}$$

其中，$\ln$ 表示自然对数。

相关问题

MATLAB实现计算两个高斯分布的KL散度

计算两个高斯分布的KL散度可以使用以下公式：

$$
D_{KL}(N_1||N_2)=\frac{1}{2}(\mathrm{tr}(\Sigma_2^{-1}\Sigma_1)+(\mu_2-\mu_1)^T\Sigma_2^{-1}(\mu_2-\mu_1)-k+\ln\frac{|\Sigma_2|}{|\Sigma_1|})
$$

其中，$N_1$和$N_2$表示两个高斯分布，$\mu_1$和$\mu_2$分别表示它们的均值，$\Sigma_1$和$\Sigma_2$表示它们的协方差矩阵，$k$表示变量的维度。

下面是MATLAB代码实现：

function kl_div = gauss_kl_div(mu1, Sigma1, mu2, Sigma2)
% 计算两个高斯分布的KL散度

k = size(mu1, 1); % 变量的维度
inv_Sigma2 = inv(Sigma2);
kl_div = 0.5 * (trace(inv_Sigma2 * Sigma1) + (mu2 - mu1)' * inv_Sigma2 * (mu2 - mu1) - k + log(det(Sigma2)/det(Sigma1)));
end

其中，`mu1`和`mu2`是两个高斯分布的均值，`Sigma1`和`Sigma2`是它们的协方差矩阵，`kl_div`是计算得到的KL散度。

计算两个多元高斯分布的KL散度MATLAB代码

以下是计算两个多元高斯分布的KL散度的MATLAB代码：

function kl_divergence = kl_gaussians(mu1, Sigma1, mu2, Sigma2)
% This function computes the KL divergence between two multivariate Gaussian distributions
% with mean vectors mu1 and mu2 and covariance matrices Sigma1 and Sigma2, respectively.

n = length(mu1);

% Compute the determinants of the covariance matrices
det_Sigma1 = det(Sigma1);
det_Sigma2 = det(Sigma2);

% Compute the inverse of Sigma2
inv_Sigma2 = inv(Sigma2);

% Compute the trace of the product of the inverse of Sigma2 and Sigma1
trace_term = trace(inv_Sigma2 * Sigma1);

% Compute the difference between the means
mu_diff = mu2 - mu1;

% Compute the KL divergence
kl_divergence = 0.5 * (log(det_Sigma2 / det_Sigma1) - n + trace_term + mu_diff' * inv_Sigma2 * mu_diff);

end

使用方法：

输入两个多元高斯分布的均值向量和协方差矩阵，即 mu1、Sigma1、mu2、Sigma2，即可计算它们之间的 KL 散度。函数返回值为 kl_divergence。