把两个n位二进制整数加起来的问题

将两个n位二进制整数相加的方法类似于手算中的进位加法。具体步骤如下：

1. 从最低位开始，将两个数的对应位相加（0和0相加得0，0和1相加得1，1和1相加得0并进位）。

2. 将得到的和写在一个新的n位二进制数中的对应位上。

3. 如果有进位，则在下一位相加时要把进位加上。

4. 一直重复以上步骤，直到最高位。

5. 如果最高位有进位，则需要在新的二进制数的最高位再加1。

举个例子，假设要计算1011和1101的和：

  1 0 1 1
+ 1 1 0 1
---------
  1 0 0 0

从最低位开始，1加1得0并进位，这个进位要在下一位相加时加上。接下来，1加0得1，1加1得0并进位，0加1得1。最高位相加时，加上进位1得到1。因此，1011和1101的和为10000。

相关问题

考虑把两个n位二进制整数加起来的问题，这两个整数分别存储在两个n元数组A和B中。这两个整数的和应该按二进制形式存储在一个（n + 1）元数组C中。请给出该问题的形式化描述，并写出伪代码。

这个问题可以用经典的归并排序思想来解决，因为我们需要逐位相加并将结果向高位进位。以下是这个问题的形式化描述：

**问题描述：**
给定两个长度相同的n元数组A和B，它们分别代表两个n位二进制数。我们想要找到这两个数的和，并将其以二进制形式存储在一个长度为(n+1)的新数组C中。数组C的第i位对应于A[i]和B[i]的二进制和加上前一位置的结果的进位。

**伪代码：**

function addBinaryArrays(A, B):
    n = length of A     // 获取数组长度
    C = [0] * (n + 1)   // 初始化结果数组C

    for i from 0 to n - 1:   // 遍历每一位
        sum = A[i] + B[i] + carry  // sum当前位的和，carry从上一位累加
        C[i] = sum % 2             // 将sum对2取余得到当前位的值
        carry = sum / 2            // 计算进位

    if carry != 0:          // 如果还有进位，将它添加到C的最前面
        C[n] = carry         // C的最后一位存储剩余的进位

    return C

在这段伪代码中，我们通过迭代每个二进制位，并按照加法规则计算和存储结果，同时更新进位，直到所有位都处理完毕。最终的结果数组C就是两个n位二进制数相加后的结果。

利用分治整数相乘算法，对两个二进制整数10011011和10111010相乘。递归到两个二进制位相乘即可

可以使用分治算法，将两个二进制整数分别拆分成高位和低位两部分，然后递归地对高位和低位进行相乘，最后将结果合并即可。具体步骤如下：

1. 将两个二进制整数分别拆分成高位和低位两部分，例如10011011可以拆分成1001和1011两部分，10111010可以拆分成1011和1010两部分。

2. 对高位和低位进行相乘，可以使用递归算法。例如，对1001和1011相乘，可以将1001左移两位，得到100100，然后与1011相乘，得到1100110，再将结果右移两位，得到11001，即1001和1011的乘积。

3. 将所有相乘的结果合并，得到最终结果。例如，将1001和1011的乘积11001与1010的乘积101010相加，得到1110110，即10011011和10111010的乘积。

注意，分治算法的时间复杂度为O(nlogn)，其中n为二进制整数的位数。