把两个n位二进制整数加起来的问题

将两个n位二进制整数相加的方法类似于手算中的进位加法。具体步骤如下：

1. 从最低位开始，将两个数的对应位相加（0和0相加得0，0和1相加得1，1和1相加得0并进位）。

2. 将得到的和写在一个新的n位二进制数中的对应位上。

3. 如果有进位，则在下一位相加时要把进位加上。

4. 一直重复以上步骤，直到最高位。

5. 如果最高位有进位，则需要在新的二进制数的最高位再加1。

举个例子，假设要计算1011和1101的和：

  1 0 1 1
+ 1 1 0 1
---------
  1 0 0 0

从最低位开始，1加1得0并进位，这个进位要在下一位相加时加上。接下来，1加0得1，1加1得0并进位，0加1得1。最高位相加时，加上进位1得到1。因此，1011和1101的和为10000。

相关问题

利用分治整数相乘算法，对两个二进制整数10011011和10111010相乘。递归到两个二进制位相乘即可

可以使用分治算法，将两个二进制整数分别拆分成高位和低位两部分，然后递归地对高位和低位进行相乘，最后将结果合并即可。具体步骤如下：

1. 将两个二进制整数分别拆分成高位和低位两部分，例如10011011可以拆分成1001和1011两部分，10111010可以拆分成1011和1010两部分。

2. 对高位和低位进行相乘，可以使用递归算法。例如，对1001和1011相乘，可以将1001左移两位，得到100100，然后与1011相乘，得到1100110，再将结果右移两位，得到11001，即1001和1011的乘积。

3. 将所有相乘的结果合并，得到最终结果。例如，将1001和1011的乘积11001与1010的乘积101010相加，得到1110110，即10011011和10111010的乘积。

注意，分治算法的时间复杂度为O(nlogn)，其中n为二进制整数的位数。

设addn:{0,1}2n→｛0，1｝n+1计算两个n位二进制整数的和并输出n+1位的结果，证明可以用O（n）规模的电路计算函数addn

首先，我们需要明确一下，这里的“电路”指的是逻辑电路，也就是由逻辑门（如与门、或门、非门等）组成的电路。

对于addn函数，我们可以采用类似于加法器的思路，从右往左逐位计算。具体来说，假设我们要计算的两个二进制整数为a和b，它们的第i位分别为ai和bi，那么我们可以分别计算它们的第i位的和以及进位：

- sumi = ai xor bi xor carryi-1
- carryi = (ai and bi) or (ai and carryi-1) or (bi and carryi-1)

其中，xor表示异或运算，and表示与运算，or表示或运算，carryi-1表示第i-1位的进位。可以看出，sumi和carryi只依赖于ai、bi和carryi-1，因此可以用逻辑门实现。

最后，我们只需要将所有的sumi连接在一起，得到结果。而carryn表示最高位的进位，也就是输出的n+1位。因此，我们可以用O(n)个逻辑门实现addn函数。

证明如下：

我们需要证明，当输入的二进制整数位数为n时，addn函数可以用O(n)个逻辑门实现。

首先，我们可以看出，sumi和carryi都只依赖于三个输入（ai、bi和carryi-1）的值，因此可以用O(1)个逻辑门实现。

其次，由于输出的n+1位只是所有sumi的连接，因此也可以用O(n)个逻辑门实现。

因此，整个addn函数可以用O(n)个逻辑门实现，证毕。