求模13的缩系1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12中的所有原根，并借助其中的次大原根构造模13的指数表

首先，我们知道模13的原根存在且数量为$\varphi(13-1)=\varphi(12)=4$个。为了求出这4个原根，我们可以逐个测试模13的缩系中的数字是否为原根。

测试1：

$1^1 \equiv 1 \pmod{13}$

$1^2 \equiv 1 \pmod{13}$

$1^3 \equiv 1 \pmod{13}$

$1^4 \equiv 1 \pmod{13}$

$1^5 \equiv 1 \pmod{13}$

$1^6 \equiv 1 \pmod{13}$

$1^7 \equiv 1 \pmod{13}$

$1^8 \equiv 1 \pmod{13}$

$1^9 \equiv 1 \pmod{13}$

$1^{10} \equiv 1 \pmod{13}$

$1^{11} \equiv 1 \pmod{13}$

$1^{12} \equiv 1 \pmod{13}$

由此可知，1不是模13的原根。

测试2：

$2^1 \equiv 2 \pmod{13}$

$2^2 \equiv 4 \pmod{13}$

$2^3 \equiv 8 \pmod{13}$

$2^4 \equiv 3 \pmod{13}$

$2^5 \equiv 6 \pmod{13}$

$2^6 \equiv 12 \pmod{13}$

$2^7 \equiv 11 \pmod{13}$

$2^8 \equiv 9 \pmod{13}$

$2^9 \equiv 5 \pmod{13}$

$2^{10} \equiv 10 \pmod{13}$

$2^{11} \equiv 7 \pmod{13}$

$2^{12} \equiv 1 \pmod{13}$

由此可知，2是模13的原根。

测试3：

$3^1 \equiv 3 \pmod{13}$

$3^2 \equiv 9 \pmod{13}$

$3^3 \equiv 1 \pmod{13}$

由此可知，3不是模13的原根。

测试4：

$4^1 \equiv 4 \pmod{13}$

$4^2 \equiv 3 \pmod{13}$

$4^3 \equiv 12 \pmod{13}$

$4^4 \equiv 9 \pmod{13}$

$4^5 \equiv 10 \pmod{13}$

$4^6 \equiv 1 \pmod{13}$

由此可知，4是模13的原根。

因此，模13的原根是2和4，另外两个原根可以通过2和4的幂运算得到，即$2^3=8$和$4^3=12$。

接下来，我们借助次大原根4构造模13的指数表。模13的指数表包含1到12的所有幂次对应的余数。我们可以通过计算$4^1 \pmod{13}, 4^2 \pmod{13}, 4^3 \pmod{13}$等方式得到所有幂次对应的余数，从而构造出模13的指数表。

模13的指数表如下：

\begin{array}{c|cccccccccccc}
\text{幂次} & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10 & 11 & 12 \\
\hline
\text{余数} & 4 & 3 & 12 & 9 & 10 & 1 & 4 & 3 & 12 & 9 & 10 & 1 \\
\end{array}