用数学的方式解析BP神经网络
时间: 2023-11-09 07:38:03 浏览: 28
BP神经网络是一种常见的前向反馈神经网络,通过反向传播算法进行学习和调整,其核心思想是将输入信号经过多层非线性转换后得到输出信号。下面我将用数学的方式来解析BP神经网络。
假设我们有一个包含L层的BP神经网络,其中第l层有n_l个神经元。假设每个神经元都采用sigmoid激活函数,激活函数的形式为:
$$ \sigma(x) = \frac{1}{1 + e^{-x}} $$
对于第1层,我们将输入向量 $\mathbf{x} = [x_1, x_2, ..., x_d]^T$ 输入到神经网络中,假设每个神经元的权重为 $\mathbf{w}_i$,则第2层的输入为:
$$ \mathbf{z}^{(2)} = \mathbf{W}^{(1)}\mathbf{x} + \mathbf{b}^{(1)} $$
其中 $\mathbf{W}^{(1)}$ 是第1层到第2层的权重矩阵,$\mathbf{b}^{(1)}$ 是第2层的偏置向量。将 $\mathbf{z}^{(2)}$ 输入到第2层的激活函数中,得到第2层神经元的输出:
$$ \mathbf{a}^{(2)} = \sigma(\mathbf{z}^{(2)}) $$
接着,将 $\mathbf{a}^{(2)}$ 输入到第2层到第L层的权重矩阵中,得到第l层的输入:
$$ \mathbf{z}^{(l)} = \mathbf{W}^{(l-1)}\mathbf{a}^{(l-1)} + \mathbf{b}^{(l-1)} $$
将 $\mathbf{z}^{(l)}$ 输入到第l层的激活函数中,得到第l层神经元的输出:
$$ \mathbf{a}^{(l)} = \sigma(\mathbf{z}^{(l)}) $$
最终,我们得到神经网络的输出为:
$$ \hat{\mathbf{y}} = \mathbf{a}^{(L)} $$
接下来,我们需要计算输出误差 $\mathbf{e}$,这里采用平方误差函数:
$$ E(\mathbf{y}, \hat{\mathbf{y}}) = \frac{1}{2} \sum_{i=1}^{m}(y_i - \hat{y}_i)^2 $$
其中 $\mathbf{y}$ 是真实的输出向量。我们需要最小化误差函数,通过反向传播算法计算出误差函数对权重和偏置的导数,然后更新权重和偏置。
假设第l层到第l+1层之间的权重为 $\mathbf{W}^{(l)}$,则误差函数对 $\mathbf{W}^{(l)}$ 的导数为:
$$ \frac{\partial E}{\partial \mathbf{W}^{(l)}} = \frac{\partial E}{\partial \mathbf{a}^{(L)}} \frac{\partial \mathbf{a}^{(L)}}{\partial \mathbf{z}^{(L)}} \frac{\partial \mathbf{z}^{(L)}}{\partial \mathbf{a}^{(l)}} \frac{\partial \mathbf{a}^{(l)}}{\partial \mathbf{z}^{(l)}} \frac{\partial \mathbf{z}^{(l)}}{\partial \mathbf{W}^{(l)}} $$
其中,$\frac{\partial E}{\partial \mathbf{a}^{(L)}}$ 是误差函数对输出的导数,$\frac{\partial \mathbf{a}^{(L)}}{\partial \mathbf{z}^{(L)}}$ 是激活函数对输入的导数,$\frac{\partial \mathbf{z}^{(L)}}{\partial \mathbf{a}^{(l)}}$ 是第l+1层到第L层之间的权重,$\frac{\partial \mathbf{a}^{(l)}}{\partial \mathbf{z}^{(l)}}$ 是激活函数对输入的导数,$\frac{\partial \mathbf{z}^{(l)}}{\partial \mathbf{W}^{(l)}}$ 是第l-1层到第l层之间的权重。
误差函数对偏置的导数的计算类似,这里不再赘述。
通过计算权重和偏置的导数,我们可以使用梯度下降法更新权重和偏置,使得误差函数最小化,从而得到训练好的BP神经网络。