要使根号21的近似值的相对误差小于0.1%，应取( )位有效数字？

根据相对误差的定义，我们有：

相对误差 = 绝对误差 / 精确值

其中，绝对误差等于精确值与近似值之差的绝对值。

我们可以用 x 来表示根号21的精确值，用 x* 来表示其近似值。假设我们要让相对误差小于 0.1%，则有：

|x - x*| / x < 0.001

我们可以通过对根号21进行有限位的四舍五入来得到一个近似值 x*，使得其满足上述不等式。设 x* 保留 n 位有效数字，则有：

|x - x*| / x < 0.001
|x - x*| < 0.001 * x
由于 x = 根号21，我们有
|x - x*| < 0.001 * 根号21
根据四舍五入的规则，我们可以将 x* 写成 x* = a * 10^(-m)，其中 a 是一个整数，m 是一个正整数，表示将 x 保留 m 位有效数字后得到的结果，且第 m+1 位数字四舍五入。因此，有：

|x - x*| = |x - a * 10^(-m)|

由于 x = 根号21，代入上式得到：

|根号21 - a * 10^(-m)| < 0.001 * 根号21

对于任意一个实数 x，都有 |x| ≤ |x|^2，因此有：

|根号21 - a * 10^(-m)| ≤ |根号21 - a^2 * 10^(-2m)|

因此，我们可以将上式转化为：

|根号21 - a^2 * 10^(-2m)| < 0.001 * 根号21

移项得到：

a^2 * 10^(-2m) - 根号21 < 0.001 * 根号21

忽略掉左边的负号，得到：

a^2 * 10^(-2m) < 1.001 * 根号21

取对数得到：

-2m * log10(10) + log10(a^2) < log10(1.001) + log10(根号21)

整理得到：

-2m + 2 * log10(a) < log10(1.001) + log10(根号21)

由于 a 是一个整数，我们可以枚举 a，并计算出不同 a 值下能够满足上式的最大的 m 值。然后，我们选择最大的 m 值作为保留的有效数字数目。

具体地，我们可以从大到小枚举 a，计算出不同 a 值下满足上式的最大的 m 值。当我们找到一个 a 值使得 m 最大时，即为所求的保留有效数字的数目。

在这个问题中，我们可以先计算出根号21的值为：

根号21 = 4.5826...

然后，我们可以从大到小枚举 a，计算出不同 a 值下满足上式的最大的 m 值：

当 a = 5 时，左边的式子取最大值，即 a^2 * 10^(-2m) = 25 * 10^(-2m)。此时，我们需要满足：

25 * 10^(-2m) < 1.001 * 根号21

解得 m > 4.165。

当 a = 4 时，左边的式子取最大值，即 a^2 * 10^(-2m) = 16 * 10^(-2m)。此时，我们需要满足：

16 * 10^(-2m) < 1.001 * 根号21

解得 m > 3.760。

当 a = 3 时，左边的式子取最大值，即 a^2 * 10^(-2m) = 9 * 10^(-2m)。此时，我们需要满足：

9 * 10^(-2m) < 1.001 * 根号21

解得 m > 3.356。

因此，我们选择 m = 4，即保留 4 位有效数字。