group sets

群集集（Groupoid）是一个数学概念，它是一种特殊的代数结构，类似于集合论中的群（group），但是群集集允许有多个元素关联到同一个元素，而不仅仅是两个元素之间的关系。在群集中，每个元素至少有一个自关联的元组，称为单位元，此外还有结合律，即任意两个箭头可以组合成一个新的箭头。

群集集由两个部分组成：一组对象（通常称为点）以及一组箭头，它们表示从一个对象到另一个对象的关系，并且满足一些性质：
1. 箭头有源点（domain）和目标点（codomain）。
2. 每个点都有一个与之关联的单位箭头（身份映射）。
3. 对于任意两个箭头，存在一个复合箭头（composition），使得复合后的箭头指向第三个点。

群集集广泛应用于拓扑学、范畴论和其他数学领域，特别是在研究动态系统和变分原理时。然而，由于其更复杂的结构，群集集的应用场景相对较少见，群（group）则更为常见和基础。

相关问题

group by 及group sets原理

Group by是一种用于按照指定的列或表达式对结果进行分组的操作。它可以对数据进行聚合计算，并且返回每个组的结果。Group by语句通常与聚合函数（如SUM、AVG、COUNT等）一起使用，以便对每个组进行计算。

Group sets是在Group by的基础上引入的一种扩展，它允许我们同时对多个列或表达式进行分组计算。Group sets通过在Group by子句中使用GROUPING SETS关键字来指定不同的分组组合。每个GROUPING SETS都对应一个分组，可以使用多个GROUPING SETS来指定多个不同的分组。在执行查询时，每个GROUPING SETS都会生成一个子查询，并将每个子查询的结果合并在一起。

Group by rollup是Group sets的一个特殊情况，它允许我们按照指定的列或表达式进行分组，并且还会为每个列或表达式生成子总计。Rollup的结果包括各级分组的汇总结果，以及总体的汇总结果。例如，如果我们使用Group by rollup(c1, c2)进行分组，那么结果将包括按照c1和c2分组的子总计，以及按照c1分组的总计和总体的总计。

Group by cube是Group sets的另一种特殊情况，它允许我们对所有可能的组合进行分组计算。Cube的结果包括各个分组组合的汇总结果，以及总体的汇总结果。例如，如果我们使用Group by cube(c1, c2)进行分组，那么结果将包括按照c1和c2分组的子总计，以及按照c1分组的子总计、按照c2分组的子总计和总体的总计。

总结来说，Group by是用于按照指定的列或表达式对结果进行分组的操作，而Group sets扩展了Group by，允许同时对多个列或表达式进行分组。Group by rollup和Group by cube是Group sets的特殊情况，分别用于生成包含子总计和总体总计的分组结果。

GROUP BY GROUPING SETS

`GROUP BY GROUPING SETS` 是 MySQL 中用于多维度分组聚合的语法，它可以同时对多个字段进行分组，以生成多维度的聚合数据。

`GROUP BY GROUPING SETS` 的语法如下：

SELECT 列1, 列2, ..., 聚合函数1(列), 聚合函数2(列), ...
FROM 表名
GROUP BY GROUPING SETS((列1, 列2, ...), (列1, ...), ..., ())

其中，`GROUPING SETS` 后面的括号中可以指定多个聚合维度，每个聚合维度用括号括起来，不同的聚合维度之间用逗号分隔。括号中的字段可以是表中的任意字段，也可以是表达式或者常量。括号中的字段数量不限，但是字段的顺序必须与 `SELECT` 子句中的顺序一致。

在使用 `GROUP BY GROUPING SETS` 时，如果某个聚合维度为空（即对应的括号中没有任何字段），则表示对所有的分组结果进行汇总（类似于 `WITH ROLLUP`）。如果同时使用多个聚合维度，则会生成多维度的聚合数据。

下面是一个示例，展示如何使用 `GROUP BY GROUPING SETS` 计算一张订单表的不同日期、不同用户、不同商品的销售数量和销售额：

SELECT 日期, 用户, 商品, COUNT(*) AS 销售数量, SUM(金额) AS 销售额
FROM 订单表
GROUP BY GROUPING SETS((日期, 用户, 商品), (日期, 用户), (日期), ())
ORDER BY 日期, 用户, 商品;

在上面的查询中，我们同时对日期、用户和商品进行了分组，并分别计算了销售数量和销售额。聚合维度包括：

- `(日期, 用户, 商品)`：按照日期、用户、商品三个维度进行聚合
- `(日期, 用户)`：按照日期、用户两个维度进行聚合
- `(日期)`：按照日期一个维度进行聚合
- `()`：对所有结果进行汇总

运行上述查询后，可以得到一个多维度的聚合结果，包括日期、用户、商品、销售数量和销售额。