具体的边界元方法的案例和代码

边界元方法（Boundary Element Method, BEM），是一种数值计算技术，主要用于解决二维或三维物理问题中的电磁场、流体力学、热传导等问题，特别是在涉及物体边界上的效应时特别有效。它的核心思想是将复杂的区域分解成边缘元素，并通过这些边缘元素计算出整个系统的行为。

一个简单的案例可以是模拟电荷分布对周围电势的影响。假设我们要计算一个圆盘形状的导体周围的电势分布，传统的网格法可能会很繁琐。使用BEM，我们可以这样操作：

1. **建立模型**：首先，定义圆盘的边界，这通常是通过一组极坐标点表示，每个点包含径向位置和角度信息。

import numpy as np

def disk_boundary(r, theta):
    x = r * np.cos(theta)
    y = r * np.sin(theta)
    return {'x': x, 'y': y}

2. **定义边元函数**：创建一个边元函数，用于计算单个边元贡献到总解的电势值。这里通常涉及到格林函数的应用。

from bempp.api import function_space, grid_function, assembly

# 假设我们有一个电荷源函数q
source_q = ...

# 边元积分表达式
def elemental_potential(xi, eta, location, domain_index, result):
    # ... 这里计算格林函数乘以源函数的结果

3. **组装方程**：遍历边界上的所有边元，将其加权并合并到全局电势函数上。

space = function_space('l2', domain='rectangle', partitions=4)
potential = grid_function(space)

assembly.assemble(elemental_potential, potential, disk_boundary, domain_index=0)

4. **求解和结果处理**：最终得到的是电势在圆盘边界上的分布，可以进一步提取感兴趣的数值或绘图展示。