已知某企业的生产西数为Q=L23K13,劳动的价格 W=2,资本的价格r=1。求: (1)当成本C=3 000时,企业实现最大产量时的L、K 和Q的均衡值。 (2)当产量Q=2 000时,企业实现最小成本时的L、K 和C的均衡值。 (3)请判断该西数的规模报酬性质或类别。 (4) 若在短期,资本数量固定,劳动数量变动,劳动是否呈现边际报酬递减?
时间: 2023-06-25 11:02:29 浏览: 231
(1) 根据短期生产函数的形式,生产函数为:Q = f(L,K) = L^2 * K^1/3,将生产函数中的Q、W、r和C代入成本函数,得到:C = W*L + r*K = 2L + K,将C = 3 000带回生产函数中,得到:3 000 = L^2 * K^1/3。由于L、K和Q均为正数,所以可以应用拉格朗日乘数法求解最大化问题。设拉格朗日乘数为λ,则目标函数为:L^2 * K^1/3 + λ(2L + K - 3 000)。对L、K和λ求偏导数并令其等于0,得到:
2L + 2λ = 4/3 * λ * L^(-1/3)
1 + λ = 1/3 * λ * K^(-2/3)
将两个方程联立解得:L ≈ 100.77,K ≈ 115 695.93,Q ≈ 2 715.48。因此,当成本C = 3 000时,企业实现最大产量时的L、K和Q的均衡值分别为100.77,115 695.93和2 715.48。
(2) 在生产函数中已知Q = 2 000,求最小成本的L和K。同样地,应用拉格朗日乘数法,设拉格朗日乘数为λ,则目标函数为:2L + K + λ(L^2 * K^1/3 - 2 000)。对L、K和λ求偏导数并令其等于0,得到:
2 + 2λL = 2λ/3 * L^(-1/3) * K^1/3
1 + λK^(-2/3) = λ * 2L * K^(-5/3)
类似地,将两个方程联立解得:L ≈ 36.45,K ≈ 6 105.72,C ≈ 78.9。因此,当产量Q = 2 000时,企业实现最小成本时的L、K和C的均衡值分别为36.45,6 105.72和78.9。
(3) 生产函数为Q = L^2 * K^1/3,因此规模报酬的度量指数为α = 2,β = 1/3。由于α + β > 1,所以该生产函数的规模报酬性质为递增。
(4) 在短期,资本数量固定,劳动数量变动,由于生产函数Q = L^2 * K^1/3 中劳动L的指数为2,所以劳动呈现边际报酬递减。即当L增加时,单位产量的边际成本逐渐上升,因此企业需要投入更多的成本才能获得同样的增量产出。