数字图像处理证明 棋盘距离等价于L无穷距离

数字图像处理中棋盘距离与L无穷范数的等价性
在数字图像处理领域，棋盘距离（Chebyshev distance）和L∞范数（L infinity norm）之间存在等价关系。这种等价性可以通过严格的数学推导得到验证。
定义说明

棋盘距离定义为两个点 ( A(x_1, y_1) ) 和 ( B(x_2, y_2) ) 之间的最大坐标差绝对值：

[ D_{chess}(A,B) = \max(|x_1 - x_2|, |y_1 - y_2|) ]

L∞范数表示向量各分量的最大绝对值：

[ ||v||_\infty = \max_i{|v_i|} ]
其中 ( v=(v_1,v_2,...,v_n)^T )，对于二维情况下的点 ( P(x,y) )，其对应的向量形式为 ( V_P=[x,y]^T )[^2]。
等价性证明
考虑任意两点 ( A(x_1, y_1), B(x_2, y_2) ):

计算两者间基于坐标的差异：
设 ( Δ_x=|x_1-x_2| ),
( Δ_y=|y_1-y_2| )

对于这两个数值应用上述两种度量方式的结果分别是:

棋盘距离: ( D_{chess}= \max(Δ_x, Δ_y))
L∞范数: ( ||V_A-V_B||_\infty=\max(|Δ_x|,|Δ_y|)=\max(Δ_x, Δ_y))

由此可见，在任何情况下这两种测量方法给出相同的结果，从而证明了它们的一致性和互换可能性。
def chebyshev_distance(point_a, point_b):
"""Calculate the Chebyshev Distance between two points."""
delta_x = abs(point_a[0] - point_b[0])
delta_y = abs(point_a[1] - point_b[1])

return max(delta_x, delta_y)

def l_infinity_norm(vector):
"""Calculate the L-infinity Norm of a vector."""
return max(abs(component) for component in vector)

# Example usage:
point_a = (3, 7)
point_b = (-1, 4)

print(f"Chessboard Distance: {chebyshev_distance(point_a, point_b)}")
vector_ab = [point_a[i]-point_b[i] for i in range(len(point_a))]
print(f"L-Infinity Norm: {l_infinity_norm(vector_ab)}")
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