完全背包问题算法实例

完全背包问题是一个经典的动态规划问题，可以通过动态规划算法来解决。以下是一个完全背包问题的算法实例：

def knapsack(weights, values, capacity):
    # 初始化动态规划表
    dp = [0] * (capacity + 1)
    
    for i in range(1, capacity + 1):
        # 对于每个物品
        for j in range(len(weights)):
            # 如果物品可以放入背包
            if weights[j] <= i:
                # 更新动态规划表
                dp[i] = max(dp[i], dp[i - weights[j]] + values[j])
    
    return dp[capacity]

# 示例输入
weights = [2, 3, 4, 5]
values = [3, 4, 5, 6]
capacity = 8

# 调用函数求解
result = knapsack(weights, values, capacity)
print("最大价值为：", result)

输出结果：

最大价值为： 12

相关问题

动态规划算法编写完全背包问题

完全背包问题是经典的动态规划问题之一。这里给出完全背包问题的动态规划算法实现：

1. 定义状态

设 $f(i,j)$ 表示前 $i$ 个物品放入容量为 $j$ 的背包中所获得的最大价值。

2. 状态转移方程

对于每个物品 $i$，考虑将其放入背包中或不放入背包中两种情况：

- 不放入背包中：此时 $f(i,j)=f(i-1,j)$，即前 $i-1$ 个物品放入容量为 $j$ 的背包中所获得的最大价值。
- 放入背包中：此时 $f(i,j)=f(i,j-w_i)+v_i$，即前 $i$ 个物品放入容量为 $j-w_i$ 的背包中所获得的最大价值再加上物品 $i$ 的价值 $v_i$。

综上所述，状态转移方程为：

$$f(i,j)=\max\{f(i-1,j),f(i,j-w_i)+v_i\}$$

3. 初始化

当背包容量为 $0$ 时，无论放入哪些物品，价值都为 $0$。因此，$f(i,0)=0$。

4. 算法实现

根据上述状态转移方程和初始化条件，可以编写完全背包问题的动态规划算法实现：

def knapsack_complete(w, v, c):
    n = len(w)
    f = [[0] * (c + 1) for _ in range(n + 1)]
    for i in range(1, n + 1):
        for j in range(1, c + 1):
            f[i][j] = f[i - 1][j]
            if w[i - 1] <= j:
                f[i][j] = max(f[i][j], f[i][j - w[i - 1]] + v[i - 1])
    return f[n][c]

其中，$w$ 和 $v$ 分别表示物品的重量和价值，$c$ 表示背包的容量。首先定义一个 $n+1$ 行、$c+1$ 列的二维列表 $f$，并将其所有元素初始化为 $0$。然后，按照上述状态转移方程进行计算，最终返回 $f(n,c)$ 即可得到最大价值。

背包问题算法python

背包问题是一个经典的组合优化问题，它可以描述为：给定一组物品，每个物品有自己的重量和价值，在限定的背包容量下，如何选择物品放入背包，使得背包中物品的总价值最大化。

在Python中，可以使用动态规划算法来解决背包问题。下面是一个简单的背包问题算法的Python实现：

def knapsack(weights, values, capacity):
    n = len(weights)
    dp = [ * (capacity + 1) for _ in range(n + 1)]

    for i in range(1, n + 1):
        for j in range(1, capacity + 1):
            if weights[i - 1] <= j:
                dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], values[i - 1] + dp[i - 1][j - weights[i - 1][j]

    return dp[n][capacity]

这个算法使用一个二维数组`dp`来保存每个子问题的最优解。其中`dp[i][j]`表示前`i`个物品在背包容量为`j`时的最大总价值。算法通过遍历每个物品和背包容量，根据当前物品是否放入背包来更新`dp`数组。