0-1背包问题模拟退火

### 使用模拟退火算法解决0-1背包问题

#### 背包问题描述
0-1背包问题是经典的组合优化问题之一，在给定容量的情况下，选择物品使得总价值最大。每个物品要么完全放入背包，要么不放。

#### 模拟退火算法简介
模拟退火算法是一种全局优化方法，能够有效处理复杂的多峰函数优化问题[^2]。该算法模仿固体物质加热再冷却后的物理过程来寻找近似最优解。对于每一个可能的状态（即一种装载方式），定义一个能量E，对应于目标函数f(x)，并试图最小化这个能量值。

#### 参数设置
- **初始温度 T**: 控制接受较差解的概率大小；
- **降温系数 alpha (α)**: 温度逐渐降低的比例因子；
- **终止条件 Tmin**: 当前温度低于此阈值时停止迭代；
- **每次迭代次数 L**: 在固定温度下的尝试次数。

#### Python实现示例
下面给出一段Python代码作为示范：

import numpy as np
import random
from math import exp


def knapsack_value(weights, values, solution):
    total_weight = sum([weights[i]*solution[i] for i in range(len(solution))])
    if total_weight > capacity:
        return -float('inf')  # 如果超过重量限制，则返回负无穷大表示不可行解
    else:
        return sum([values[i]*solution[i] for i in range(len(solution))])


def generate_neighbor(current_solution):
    neighbor = current_solution.copy()
    idx = random.randint(0, n_items-1)
    neighbor[idx] = 1 - neighbor[idx]  # 翻转第idx个位置的选择状态
    return neighbor


n_items = 5  # 物品数量
capacity = 8  # 背包容积上限
weights = [2, 3, 4, 5, 9]  # 各种物品的重量列表
values = [3, 7, 2, 9, 4]  # 对应的价值列表

current_solution = [random.choice([0, 1]) for _ in range(n_items)]  # 随机初始化起始解向量
best_solution = current_solution[:]
max_iterations = 1000  # 总的最大迭代数
temperature = 1.0  # 初始高温
cooling_rate = 0.99  # 冷却速率
min_temperature = 0.0001  # 结束温度

for iteration in range(max_iterations):

    new_solution = generate_neighbor(best_solution)

    delta_e = knapsack_value(weights, values, new_solution) - \
              knapsack_value(weights, values, best_solution)

    if delta_e >= 0 or random.uniform(0, 1) < exp(delta_e / temperature):  # Metropolis准则
        best_solution = new_solution[:]

    temperature *= cooling_rate  # 更新温度
    
    if temperature < min_temperature:
        break
        
print(f'Best Solution Found: {best_solution}')
print(f'Total Value Achieved: {knapsack_value(weights, values, best_solution)}')

这段程序实现了基本版的模拟退火算法应用于0-1背包问题上。通过不断调整参数以及改进策略，可以获得更好的性能表现。