证明一下根号6是无理数

证明根号6是无理数的一种方法是采用反证法。

假设根号6是有理数，即可以表示为 p/q，其中p、q是整数，且p、q没有公因数。则根号6的平方可以表示为 6 = (p/q)^2，即 p^2 = 6q^2。

由于6是偶数，因此p^2也是偶数，这意味着p本身也是偶数，即p=2k（k为整数）。代入上式得到 (2k)^2 = 6q^2，整理得到 2k^2 = 3q^2。

由于3是奇数，因此3q^2也是奇数，这意味着q是奇数。因此，我们可以将q表示为 q=2m+1（m为整数），代入上式得到 2k^2 = 3(2m+1)^2。

将右边的式子展开得到 2k^2 = 12m^2 + 12m + 3，化简得到 k^2 = 6m^2 + 6m + 3/2。由于3/2不是整数，因此k^2不是整数，这与k是整数矛盾。

因此，假设不成立，根号6是无理数。

相关问题

π是无理数证明定积分_数学史上的第一次理论危机【无理数】

首先，我们先来了解一下无理数的概念。无理数是不能表示为两个整数的比的实数，例如根号2、根号3等。而有理数是可以表示为两个整数的比的实数，例如1、2、3/4等。

当然，我们知道π是无理数，但是最初人们并没有确定π是无理数。在古希腊时期，人们普遍认为所有实数都可以表示为有理数的比，这被称为“完全性假设”。

然而，公元前5世纪，希帕索斯发现了根号2是一个无理数，这颠覆了完全性假设。这个发现引发了数学史上的第一次理论危机。

后来，欧多克索斯证明了根号3也是无理数。这证明了希帕索斯的发现，并进一步加强了对于完全性假设的质疑。

在17世纪，数学家们开始研究π的性质，并且证明了π是无理数。这个证明使用了阶数的概念，即数学中用来描述多项式函数次数的概念。这个证明是数学史上非常重要的一步，因为它证明了完全性假设是错误的。

最终，这个证明引导了人们对于实数系统的重新认识和发展，从而开创了现代数学的新纪元。