反幂法求矩阵特征值和特征向量

反幂法，也称为雅可比迭代法或逆幂迭代法，是一种用于计算矩阵特征值和特征向量的有效算法。它基于这样一个原理：对于实数或复数矩阵 \(A\)，如果 \(A\) 的一个特征值为 \(\lambda\)，那么 \(I - A^{-1} \)（其中 \(I\) 是单位矩阵）的特征值就是 \(1 - \frac{1}{\lambda}\)。这种方法特别适用于计算矩阵的较大的特征值。

下面是反幂法的基本步骤：

1. **选择初始向量**：选择一个非零初始向量 \(v_0\)，通常可以选择随机向量或者矩阵的任一行/列作为起点。

2. **迭代过程**：对于迭代次数 \(k\)，计算 \(v_k = (I - A^{-1})^k v_0\)。随着 \(k\) 的增加，\(v_k\) 将越来越接近于对应的特征向量。

3. **收敛判断**：检查 \(v_k\) 是否趋于稳定，即 \(||v_{k+1} - v_k||\) 趋于极小。如果是，则 \(v_k\) 可以作为特征向量的一个估计。

4. **特征值估计**：一旦特征向量 \(v\) 稳定下来，可以通过公式 \(\lambda \approx \frac{v^TAv}{v^Tv}\) 来估算特征值。注意这是对 \(A\) 的一个近似，因为实际上 \(v\) 是 \(I - A^{-1}\) 的特征向量。

5. **重复步骤**：为了找到其他特征值，可以对 \(A\) 作相似变换或使用不同的初始向量重复上述过程。