请详细讲解离散数学中图的同构问题

时间: 2023-09-26 17:15:11 浏览: 48
在离散数学中,图同构问题指的是给定两个无向图,判断它们是否同构的问题。同构的意思是说两个图可以通过重新标号节点的方式变为相同的图。该问题在计算机科学和数学中都有着广泛的应用。 判断两个图是否同构的过程可以分为以下几步: 1. 判断两个图的节点数是否相同,如果不同则两个图一定不同构。 2. 对于每个节点,计算它的度数(即与它相邻的边的数目)。如果两个图中某个节点的度数不同,则两个图一定不同构。 3. 对于每个节点,计算它与其他节点的距离,并将这些距离按照升序排列。如果两个图中某个节点的距离序列不同,则两个图一定不同构。 4. 对于每个节点,将它与它的邻居节点的标号按照升序排列,得到一个序列。将所有这些序列按照字典序排列,得到一个字符串。如果两个图的这个字符串不同,则两个图一定不同构。 如果经过上述步骤后,两个图的节点数、度数、距离序列和邻居节点标号序列都相同,则可以认为这两个图是同构的。 需要注意的是,图同构问题是一个NP问题,目前没有找到有效的多项式时间算法来解决。因此,在实际应用中,通常采用一些启发式算法或者人工智能算法来进行求解。
相关问题

离散数学图的同构c++程序

离散数学中,图的同构问题是一个经典难题,目前还没有找到一个高效的通用算法来解决。不过在特定情况下(例如小规模的图),可以使用暴力枚举来判断两个图是否同构。 以下是一个基于邻接矩阵表示的简单的同构判断程序的 C++ 代码示例: ```c++ #include <iostream> #include <vector> #include <cstring> using namespace std; const int MAXN = 10; // 最大顶点数 int n; // 顶点数 int a[MAXN][MAXN]; // 邻接矩阵 // 判断两个图是否同构 bool isomorphism(int p[], int q[], int k) { if (k == n) { // 如果已经枚举完所有的顶点,判断两个图是否同构 for (int i = 0; i < n; i++) { for (int j = 0; j < n; j++) { if (a[p[i]][p[j]] != a[q[i]][q[j]]) { return false; } } } return true; } else { // 枚举顶点的排列方式 for (int i = 0; i < k; i++) { bool flag = true; for (int j = 0; j < k; j++) { if (p[j] == i || q[j] == k - 1) { flag = false; break; } } if (flag) { p[k] = i; q[k] = k - 1; if (isomorphism(p, q, k + 1)) { return true; } } } return false; } } int main() { // 读入图的信息 cin >> n; for (int i = 0; i < n; i++) { for (int j = 0; j < n; j++) { cin >> a[i][j]; } } // 枚举顶点的排列 int p[MAXN], q[MAXN]; memset(p, 0, sizeof(p)); memset(q, 0, sizeof(q)); if (isomorphism(p, q, 1)) { cout << "两个图同构" << endl; } else { cout << "两个图不同构" << endl; } return 0; } ``` 该程序通过枚举两个图的顶点排列方式来判断它们是否同构,时间复杂度为 $O(n!)$,只适用于小规模的图。在实际应用中,通常需要使用更高效的算法来解决该问题。

离散数学判断两图同构的c++程序

离散数学中,图的同构问题是一个经典难题,目前还没有找到一个高效的通用算法来解决。不过在特定情况下(例如小规模的图),可以使用暴力枚举来判断两个图是否同构。 以下是一个基于邻接矩阵表示的简单的同构判断程序的 C++ 代码示例: ```c++ #include <iostream> #include <vector> #include <cstring> using namespace std; const int MAXN = 10; // 最大顶点数 int n; // 顶点数 int a[MAXN][MAXN]; // 邻接矩阵 // 判断两个图是否同构 bool isomorphism(int p[], int q[], int k) { if (k == n) { // 如果已经枚举完所有的顶点,判断两个图是否同构 for (int i = 0; i < n; i++) { for (int j = 0; j < n; j++) { if (a[p[i]][p[j]] != a[q[i]][q[j]]) { return false; } } } return true; } else { // 枚举顶点的排列方式 for (int i = 0; i < k; i++) { bool flag = true; for (int j = 0; j < k; j++) { if (p[j] == i || q[j] == k - 1) { flag = false; break; } } if (flag) { p[k] = i; q[k] = k - 1; if (isomorphism(p, q, k + 1)) { return true; } } } return false; } } int main() { // 读入图的信息 cin >> n; for (int i = 0; i < n; i++) { for (int j = 0; j < n; j++) { cin >> a[i][j]; } } // 枚举顶点的排列 int p[MAXN], q[MAXN]; memset(p, 0, sizeof(p)); memset(q, 0, sizeof(q)); if (isomorphism(p, q, 1)) { cout << "两个图同构" << endl; } else { cout << "两个图不同构" << endl; } return 0; } ``` 该程序通过枚举两个图的顶点排列方式来判断它们是否同构,时间复杂度为 $O(n!)$,只适用于小规模的图。在实际应用中,通常需要使用更高效的算法来解决该问题。

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以下是一个简单的 C++ 程序,可用于判断两个有向图的邻接矩阵是否同构: c++ #include <iostream> #include <vector> #include <algorithm> using namespace std; const int MAXN = 100; int n, m; // n 表示图中的节点数,m 表示图中的边数 int a[MAXN][MAXN]; // 存储第一个图的邻接矩阵 int b[MAXN][MAXN]; // 存储第二个图的邻接矩阵 bool vis[MAXN]; // 标记数组,用于深度优先搜索 // 判断两个邻接矩阵是否同构 bool isomorphic() { vector<int> va, vb; // 存储节点出度和入度的数组 int da[MAXN], db[MAXN], ina[MAXN], inb[MAXN], outa[MAXN], outb[MAXN]; // 存储节点出度和入度的数组 memset(da, 0, sizeof(da)); memset(db, 0, sizeof(db)); memset(ina, 0, sizeof(ina)); memset(inb, 0, sizeof(inb)); memset(outa, 0, sizeof(outa)); memset(outb, 0, sizeof(outb)); for (int i = 0; i < n; i++) { int d = 0; for (int j = 0; j < n; j++) { if (a[i][j]) { d++; outa[i]++; ina[j]++; } } da[d]++; va.push_back(d); } for (int i = 0; i < n; i++) { int d = 0; for (int j = 0; j < n; j++) { if (b[i][j]) { d++; outb[i]++; inb[j]++; } } db[d]++; vb.push_back(d); } sort(va.begin(), va.end()); sort(vb.begin(), vb.end()); for (int i = 0; i < n; i++) { if (da[i] != db[i]) return false; } for (int i = 0; i < n; i++) { if (va[i] != vb[i]) return false; } memset(vis, false, sizeof(vis)); for (int i = 0; i < n; i++) { if (!vis[i]) { vector<int> v1, v2; for (int j = 0; j < n; j++) { if (a[i][j]) v1.push_back(j); if (b[i][j]) v2.push_back(j); } sort(v1.begin(), v1.end()); sort(v2.begin(), v2.end()); if (v1 != v2) return false; for (int j = 0; j < v1.size(); j++) { vis[v1[j]] = true; } } } memset(vis, false, sizeof(vis)); for (int i = 0; i < n; i++) { if (ina[i] != inb[i] || outa[i] != outb[i]) return false; } return true; } int main() { cin >> n >> m; for (int i = 0; i < m; i++) { int u, v; cin >> u >> v; u--, v--; a[u][v] = 1; } for (int i = 0; i < m; i++) { int u, v; cin >> u >> v; u--, v--; b[u][v] = 1; } if (isomorphic()) { cout << "两个图同构" << endl; } else { cout << "两个图不同构" << endl; } return 0; } 程序的基本思路和之前的程序类似,不同的是需要分别计算每个节点的入度和出度,并且在比较两个邻接矩阵中每个节点的邻居时,需要分别考虑其出度和入度的邻居。如果两个邻接矩阵同构,则它们具有相同的节点出度和入度序列,并且每个节点的出度和入度的邻居集合也相同。 下面是一个示例输入输出: 输入: 3 0 1 1 1 0 1 1 1 0 0 1 1 1 0 1 1 1 0 输出: 两个图同构 解释:输入的是两个 $3$ 阶有向图的邻接矩阵,分别是: 0 1 1 1 0 1 1 1 0 0 1 1 1 0 1 1 1 0 可以看出这两个图是同构的,因此输出 两个图同构。
以下是一个简单的 C++ 程序,可用于判断两个无向图或有向图的邻接矩阵是否同构: c++ #include <iostream> #include <vector> #include <algorithm> using namespace std; const int MAXN = 100; int n, m; // n 表示图中的节点数,m 表示图中的边数 int a[MAXN][MAXN]; // 存储第一个图的邻接矩阵 int b[MAXN][MAXN]; // 存储第二个图的邻接矩阵 bool vis[MAXN]; // 标记数组,用于深度优先搜索 // 判断两个邻接矩阵是否同构 bool isomorphic() { vector<int> va, vb; // 存储节点度数的数组 int da[MAXN], db[MAXN]; // 存储节点度数的数组 memset(da, 0, sizeof(da)); memset(db, 0, sizeof(db)); for (int i = 0; i < n; i++) { int d = 0; for (int j = 0; j < n; j++) { if (a[i][j]) d++; } da[d]++; va.push_back(d); } for (int i = 0; i < n; i++) { int d = 0; for (int j = 0; j < n; j++) { if (b[i][j]) d++; } db[d]++; vb.push_back(d); } sort(va.begin(), va.end()); sort(vb.begin(), vb.end()); for (int i = 0; i < n; i++) { if (da[i] != db[i]) return false; } for (int i = 0; i < n; i++) { if (va[i] != vb[i]) return false; } memset(vis, false, sizeof(vis)); for (int i = 0; i < n; i++) { if (!vis[i]) { vector<int> v1, v2; for (int j = 0; j < n; j++) { if (a[i][j]) v1.push_back(j); if (b[i][j]) v2.push_back(j); } sort(v1.begin(), v1.end()); sort(v2.begin(), v2.end()); if (v1 != v2) return false; for (int j = 0; j < v1.size(); j++) { vis[v1[j]] = true; } } } return true; } int main() { cin >> n >> m; for (int i = 0; i < m; i++) { int u, v; cin >> u >> v; u--, v--; a[u][v] = a[v][u] = 1; } for (int i = 0; i < m; i++) { int u, v; cin >> u >> v; u--, v--; b[u][v] = b[v][u] = 1; } if (isomorphic()) { cout << "两个图同构" << endl; } else { cout << "两个图不同构" << endl; } return 0; } 程序的基本思路是先计算每个节点的度数,然后将它们按照度数从小到大排序,最后分别比较两个邻接矩阵中每个节点的邻居是否相同。如果两个邻接矩阵同构,则它们具有相同的节点度数序列,并且每个节点的邻居集合也相同。
以下是一个基于C++的图同构问题的代码,使用了邻接矩阵来表示图: c++ #include <iostream> #include <cstring> using namespace std; const int MAXN = 100; // 最大点数 const int INF = 0x3f3f3f3f; // 无穷大 int n, m; // n为点数,m为边数 int G1[MAXN][MAXN], G2[MAXN][MAXN]; // 邻接矩阵表示的两个图 bool vis[MAXN]; // 标记数组 bool dfs(int u, int G[][MAXN], int v[]){ // u为当前处理的点,G为当前图,v为统计子树大小的数组 vis[u] = true; // 标记当前点已访问 for(int i = 1; i <= n; ++i){ if(G[u][i] != INF){ // 如果u和i之间有边 if(v[u] != v[i]) return false; // 如果u和i的子树大小不相等,返回false if(!vis[i]){ // 如果i还没有被访问 if(!dfs(i, G, v)) return false; // 继续访问i的子树,如果不相等,返回false } } } return true; // 所有子树都相等,返回true } bool isomorphic(){ // 判断两个图是否同构 int v1[MAXN], v2[MAXN]; // 统计子树大小的数组 memset(v1, 0, sizeof(v1)); memset(v2, 0, sizeof(v2)); for(int i = 1; i <= n; ++i){ for(int j = 1; j <= n; ++j){ v1[i] += (G1[i][j] != INF); // 统计G1中每个点的子树大小 v2[i] += (G2[i][j] != INF); // 统计G2中每个点的子树大小 } } for(int i = 1; i <= n; ++i){ if(v1[i] != v2[i]) return false; // 如果G1和G2中存在点的子树大小不相等,返回false } memset(vis, false, sizeof(vis)); // 初始化标记数组 return dfs(1, G1, v1) && dfs(1, G2, v2); // 深度优先搜索,如果都相等,返回true,否则返回false } int main(){ cin >> n >> m; memset(G1, INF, sizeof(G1)); // 初始化邻接矩阵 memset(G2, INF, sizeof(G2)); // 初始化邻接矩阵 for(int i = 1; i <= m; ++i){ int u, v; cin >> u >> v; G1[u][v] = G1[v][u] = 1; // G1中u和v之间有边 } for(int i = 1; i <= m; ++i){ int u, v; cin >> u >> v; G2[u][v] = G2[v][u] = 1; // G2中u和v之间有边 } if(isomorphic()) cout << "Yes" << endl; // 如果两个图同构,输出Yes else cout << "No" << endl; // 如果两个图不同构,输出No return 0; } 这个代码中,我们使用了邻接矩阵来表示图,并且使用了深度优先搜索来判断两个图是否同构。在深度优先搜索的过程中,我们统计了每个点的子树大小,并且比较了两个图中每个点的子树大小是否相等,如果不相等,直接返回false。最终如果两个图都满足条件,返回true,否则返回false。
图同构算法是一种用于检测两个图是否具有相同结构的算法。在计算机科学和数学领域,图同构是一种等价关系,用于比较两个图的结构。如果两个图具有相同的结构,那么它们被称为同构的。 QuickSI算法是一种基于快速匹配和启发式搜索的图同构算法。该算法使用了一种基于图的表示和匹配的方法,通过快速匹配和启发式搜索来找到两个图的同构关系。 以下是QuickSI算法的基本步骤: 1. 初始化:将每个顶点表示为一个字符串,其中字符串的长度等于顶点的数量。对于每对顶点,创建一个与之匹配的字符串,称为对应顶点的映射。 2. 快速匹配:使用字符串匹配算法(如朴素匹配或Brute-Force匹配)在对应的字符串中进行匹配。在每次匹配失败时,重新开始搜索以避免无限循环。 3. 启发式搜索:通过遍历每对顶点的对应字符串中的相邻字符来逐步逼近图的同构关系。当匹配失败时,停止搜索并考虑其他的候选顶点对。 4. 验证:使用一个已知的图同构测试函数来验证是否找到了正确的同构关系。如果测试函数返回真,则找到了同构关系;否则,重新开始搜索。 QuickSI算法的主要优点是它的时间复杂度较低,通常可以在较短的时间内找到两个图的同构关系。此外,该算法还具有较好的鲁棒性和适应性,可以处理不同类型的图结构。 要了解更多关于QuickSI算法的信息,您可以查阅相关的研究文献或相关资料。同时,您也可以尝试使用该算法来解决实际问题,以更好地理解其应用场景和效果。

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