请提供一个C语言编程任务说明：如何编写一个程序，利用外推方法计算某个区域，并运用黄金分割法寻找函数的极小值？需要包含相关的函数定义和关键步骤的实现细节。

在C语言中，你可以通过以下几个步骤创建一个简单的程序，利用外推方法（如梯度下降或牛顿法）计算特定区域内的函数值，并结合黄金分割搜索找到极小值。这里我们将重点放在黄金分割搜索上，因为它的迭代过程非常适合解决这个问题。

首先，你需要定义一些关键的函数：

#include <math.h> // 包含数学函数库

// 定义你要优化的函数
double function(double x) {
    // 这里替换为你要优化的实际函数，例如：f(x) = x^2 + sin(x)
    return pow(x, 2) + sin(x);
}

// 黄金分割搜索辅助函数
double goldenRatioSearch(double a, double b) {
    const double phi = (1 + sqrt(5)) / 2; // 黄金比例
    if (a == b) {
        printf("函数在x=%lf处取到极小值\n", a);
        return a;
    }
    double c = a + phi * (b - a); // 根据黄金分割设置下一个点
    double fc = function(c);
    double fbc = function(b);

    if (fc <= fbc) { // 如果新点更优，移动右边界
        return goldenRatioSearch(a, c);
    } else { // 否则，移动左边界
        return goldenRatioSearch(c, b);
    }
}

int main() {
    double lower_bound = -10.0; // 下界
    double upper_bound = 10.0; // 上界
    double min_x = goldenRatioSearch(lower_bound, upper_bound);
    printf("最小值出现在x=%lf, 函数值%f\n", min_x, function(min_x));
    return 0;
}

在这个示例中：
1. `function`函数是你正在优化的目标函数。
2. `goldenRatioSearch`函数实现了黄金分割搜索算法，它接受一个区间的两个端点作为输入，逐步缩小区间直到找到极小值。
3. `main`函数设置了初始搜索范围，然后调用黄金分割搜索并打印结果。