用向量证明柯西不等式

柯西不等式是指：对于任意的向量 $\mathbf{x}$ 和 $\mathbf{y}$，都有

$$ \left\| \mathbf{x} + \mathbf{y} \right\|^2 + \left\| \mathbf{x} - \mathbf{y} \right\|^2 \geq 2 \left( \left\| \mathbf{x} \right\|^2 + \left\| \mathbf{y} \right\|^2 \right) $$

这个不等式。

证明：

首先，我们有 $\left\| \mathbf{x} + \mathbf{y} \right\|^2 = (\mathbf{x} + \mathbf{y}) \cdot (\mathbf{x} + \mathbf{y}) = \mathbf{x} \cdot \mathbf{x} + 2 \mathbf{x} \cdot \mathbf{y} + \mathbf{y} \cdot \mathbf{y}$。

同理，$\left\| \mathbf{x} - \mathbf{y} \right\|^2 = \mathbf{x} \cdot \mathbf{x} - 2 \mathbf{x} \cdot \mathbf{y} + \mathbf{y} \cdot \mathbf{y}$。

所以 $\left\| \mathbf{x} + \mathbf{y} \right\|^2 + \left\| \mathbf{x} - \mathbf{y} \right\|^2 = 2 \mathbf{x} \cdot \mathbf{x} + 2 \mathbf{y} \cdot \mathbf{y} = 2 \left( \left\| \mathbf{x} \right\|^2 + \left\| \mathbf{y} \right\|^2 \right)$。

所以柯西不等式成立。