请用分支限界法解决此问题:给定一个m×n的网格，每个格子上包含一个非负整数。在网格上移动时，每次只能向下或者向右移动一步。请找出一条从左上角到右下角的路径，使得路径上的数字总和为最小。

首先我们可以将这个问题转化为图论问题，将每个格子看作一个节点，在相邻的格子之间连边，权值为对应格子上的数字。然后我们可以使用分支限界法来求解最小路径和。

具体算法如下：

1. 初始化一个优先队列，将起始节点加入队列中。

2. 对于队列中的每个节点，从该节点向下和向右扩展，得到两个新节点。如果新节点不越界，就计算新节点的代价，即从起始节点到新节点的路径长度加上新节点的权值。如果新节点的代价小于当前最优解，则将新节点加入队列中。

3. 重复执行步骤2直到队列为空或者找到终点节点。

4. 如果找到了终点节点，则返回该节点的代价作为最小路径和；否则返回无解。

代码实现如下：