请用分支限界法解决此问题:给定一个m×n的网格，每个格子上包含一个非负整数。在网格上移动时，每次只能向下或者向右移动一步。请找出一条从左上角到右下角的路径，使得路径上的数字总和为最小。

首先我们可以将这个问题转化为图论问题，将每个格子看作一个节点，在相邻的格子之间连边，权值为对应格子上的数字。然后我们可以使用分支限界法来求解最小路径和。

具体算法如下：

1. 初始化一个优先队列，将起始节点加入队列中。

2. 对于队列中的每个节点，从该节点向下和向右扩展，得到两个新节点。如果新节点不越界，就计算新节点的代价，即从起始节点到新节点的路径长度加上新节点的权值。如果新节点的代价小于当前最优解，则将新节点加入队列中。

3. 重复执行步骤2直到队列为空或者找到终点节点。

4. 如果找到了终点节点，则返回该节点的代价作为最小路径和；否则返回无解。

代码实现如下：

相关问题

分支限列法与回溯法那个更好解决给定一个m×n的网格，每个格子上包含一个非负整数。在网格上移动时，每次只能向下或者向右移动一步。请找出一条从左上角到右下角的路径，使得路径上的数字总和为最小

对于这个问题，分支限界法和回溯法都可以解决。但是在效率上，分支限界法更优秀一些。

回溯法的思路是，从左上角开始，每次向下或向右移动一步，直到到达右下角。在过程中记录路径上的数字总和，找到最小的数字总和路径。但是回溯法会涉及到很多重复计算，效率较低。

而分支限界法将问题分解成若干个子问题，每个子问题都是一个网格上的点。对于每个子问题，计算出从左上角到该点的最小数字总和，并将该点相邻的子问题加入到待处理队列中。在处理队列中，选择下一个最有可能找到最小数字总和路径的子问题进行处理。通过选择最优的子问题，可以避免回溯法中的重复计算，提高效率。

因此，分支限界法更适合解决这个问题。

给定一个m×n的网格，每个格子上包含一个非负整数。在网格上移动时，每次只能向下或者向右移动一步。请找出一条从左上角到右下角的路径，使得路径上的数字总和为最小。请用分支限界法解决该问题，使用java语言。样列1： 输入：grid = [[1,3,1],[1,5,1],[4,2,1]] 输出：7 解释：因为路径 1→3→1→1→1 的总和最小。

以下是使用Java实现分支限界法求解该问题的代码：

import java.util.*;

public class MinPathSum {
    static class Node implements Comparable<Node> {
        int i, j, sum;

        public Node(int i, int j, int sum) {
            this.i = i;
            this.j = j;
            this.sum = sum;
        }

        public int compareTo(Node o) {
            return sum - o.sum;
        }
    }

    public static int minPathSum(int[][] grid) {
        int m = grid.length;
        int n = grid[0].length;

        // 用数组记录到达每个节点的最小路径和
        int[][] minSum = new int[m][n];
        for (int i = 0; i < m; i++) {
            for (int j = 0; j < n; j++) {
                minSum[i][j] = Integer.MAX_VALUE;
            }
        }
        minSum[0][0] = grid[0][0];

        // 用优先队列实现分支限界搜索
        PriorityQueue<Node> pq = new PriorityQueue<>();
        pq.offer(new Node(0, 0, minSum[0][0]));

        while (!pq.isEmpty()) {
            Node node = pq.poll();
            int i = node.i;
            int j = node.j;
            int sum = node.sum;

            if (i == m - 1 && j == n - 1) {  // 到达目标节点，返回最小路径和
                return sum;
            }

            if (i < m - 1) {  // 向下走
                int newSum = sum + grid[i + 1][j];
                if (newSum < minSum[i + 1][j]) {  // 只添加新路径和更小的节点
                    minSum[i + 1][j] = newSum;
                    pq.offer(new Node(i + 1, j, newSum));
                }
            }

            if (j < n - 1) {  // 向右走
                int newSum = sum + grid[i][j + 1];
                if (newSum < minSum[i][j + 1]) {  // 只添加新路径和更小的节点
                    minSum[i][j + 1] = newSum;
                    pq.offer(new Node(i, j + 1, newSum));
                }
            }
        }

        return -1;  // 没有找到合法路径
    }

    public static void main(String[] args) {
        int[][] grid = {{1, 3, 1}, {1, 5, 1}, {4, 2, 1}};
        int minSum = minPathSum(grid);
        System.out.println(minSum);
    }
}

代码中使用了一个大小为 $(m+n)\times2$ 的数组 $minSum$，其中 $minSum[i][j]$ 表示到达网格 $(i,j)$ 的最小路径和。在分支限界搜索中，每次取出路径和最小的节点并尝试向下或向右走，如果新路径和比已有的更小，则记录新的最小路径和并将新节点加入优先队列中。如果搜索到达目标节点，则返回最小路径和。如果搜索结束后仍未找到合法路径，则返回 $-1$。

时间复杂度为 $O(mn\log(m+n))$，空间复杂度为 $O(mn)$。