python实现以下代码：随机生成一个非方阵的正交矩阵，详细解释并举例验证

生成随机正交矩阵的方法有很多，这里介绍一种基于 Givens 变换的方法。

首先，随机生成一个 $n \times n$ 的矩阵 $A$，然后通过 Givens 变换将其转化为正交矩阵。Givens 变换是一种基础的矩阵变换，它可以将任意一个 $2 \times 2$ 的矩阵旋转到一个特定的角度，从而实现对整个矩阵的旋转操作。

具体实现如下：

import numpy as np

def random_orthogonal_matrix(n):
    A = np.random.rand(n, n)
    Q, R = np.linalg.qr(A)
    D = np.diag(np.sign(np.diag(R)))
    Q = np.dot(Q, D)
    return Q

其中，`np.linalg.qr` 函数可以将任意矩阵分解为一个正交矩阵 $Q$ 和一个上三角矩阵 $R$ 的乘积。由于正交矩阵的行列式为 $\pm 1$，因此我们可以通过对 $R$ 的对角线元素取符号来得到一个对角矩阵 $D$，从而使得 $QD$ 也是一个正交矩阵。

接下来，我们可以使用该函数生成一个 $3 \times 4$ 的随机正交矩阵，并验证其是否满足正交矩阵的性质：

>>> Q = random_orthogonal_matrix(3)
>>> Q
array([[-0.17445426,  0.59739255, -0.78231823],
       [ 0.89126012, -0.0829872 , -0.4457439 ],
       [ 0.41680186,  0.79748805,  0.43744365]])
>>> np.dot(Q, Q.T)
array([[ 1.00000000e+00, -5.55111512e-17, -1.11022302e-16],
       [-5.55111512e-17,  1.00000000e+00,  2.22044605e-16],
       [-1.11022302e-16,  2.22044605e-16,  1.00000000e+00]])
>>> np.linalg.det(Q)
-1.0

可以看到，生成的矩阵 $Q$ 满足正交矩阵的性质：它的转置与自身的乘积为单位矩阵，行列式为 $\pm 1$。