求曲面x²+y²＝2ax，z＝jx，z＝kx（j＞k＞0）所围成的立体体积。

根据题目中所给的曲面方程，可以将它转换成参数方程形式：

x = r cosθ

y = r sinθ

z = jr cosθ

其中 r^2 = 2a cosθ，并且θ∈[0,π]。

因此，可以计算出在θ∈[0,π]时，该曲面所围成的体积为：

V = ∫[0,π]∫[0,2π]∫[0,jr cosθ] rdz dθ dφ

= 2π ∫[0,π]∫[0,jr cosθ] r^2 dz dθ

= 2π ∫[0,π] j/3 r^3 cos^3θ dθ

= 2π j/9 a^3 [sin^4(π/4) - 1]

= πj/9 a^3 (3 - 2^(3/2))

故所围成的立体体积为 πj/9 a^3 (3 - 2^(3/2))。

相关问题

求曲面x²+y² ＝ 2ax，z ＝ jx，z＝ kx （j＞k＞0，a＞0）所围成的立体体积

根据题意，我们可以将曲面和平面投影到 XY 面上，在极坐标系下，曲面方程可表示为 r² = 2a cosθ，平面方程可表示为 z = krcosθ。因此，该立体体积可以表示为以下积分式：

V = 2∫(from θ=0 to θ=π/2)∫(from r=0 to r=a cosθ) [krcosθ] r dr dθ

化简得：

V = 2k∫(from θ=0 to θ=π/2) (1/3)a³cos³θ dθ

解出积分式得：

V = (4/9)ka³

因此，该立体体积为 (4/9)ka³。

求下列曲面所围成的立体的体积 x=0, y=0，x+y+z=4，x=2，y=3用二重积分

我们可以通过画图来确定积分区域：

首先，我们将$x=0$和$y=0$这两个平面画出来，得到一个在第一象限的三角形区域。

然后，我们画出$x+y+z=4$这个平面，它与$x=2$和$y=3$分别相交于直线$x=2$和$y=3$，并在$(2,1,1)$处相交。因此，我们可以通过在三角形区域内沿着$z$轴从$0$到$4-(x+y)$来确定积分区域。

因此，我们得到积分区域为：

$$D=\{(x,y,z)|0\leq x\leq 2, 0\leq y\leq 3, 0\leq z\leq 4-(x+y)\}$$

现在我们可以写出积分式：

$$V=\iint_D dx dy \int_0^{4-(x+y)} dz=\int_0^3 dy\int_0^{2-y}(4-x-y)dx$$

接下来，我们可以对$x$进行积分：

$$\begin{aligned}\int_0^{2-y}(4-x-y)dx&=\left[4x-\frac{1}{2}x^2-yx\right]_0^{2-y}\\&=4(2-y)-\frac{1}{2}(2-y)^2-y(2-y)\\&=\frac{1}{2}y^2-2y+4\end{aligned}$$

于是，我们得到：

$$V=\int_0^3 \left(\frac{1}{2}y^2-2y+4\right)dy=\frac{9}{2}$$

因此，所求的立体体积为$\frac{9}{2}$。