计算余弦函数的傅立叶变换并验证尺度变换和时移性质

余弦函数的傅立叶变换为：

$$
\begin{aligned}
\mathcal{F}(\cos(\omega_0 t)) &= \frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty} \cos(\omega_0 t) e^{-i\omega t} dt \\
&= \frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty} \frac{e^{i\omega_0 t}+e^{-i\omega_0 t}}{2} e^{-i\omega t} dt \\
&= \frac{1}{4\pi}\int_{-\infty}^{\infty} e^{i(\omega-\omega_0)t} dt + \frac{1}{4\pi}\int_{-\infty}^{\infty} e^{i(\omega+\omega_0)t} dt \\
&= \frac{1}{4\pi}2\pi\delta(\omega-\omega_0) + \frac{1}{4\pi}2\pi\delta(\omega+\omega_0) \\
&= \frac{1}{2}\left[\delta(\omega-\omega_0) + \delta(\omega+\omega_0)\right]
\end{aligned}
$$

其中，$\delta(\omega)$ 是狄拉克 $\delta$ 函数，表示脉冲信号。

现在，我们来验证尺度变换和时移性质。

1. 尺度变换：

对于原函数 $f(t)=\cos(\omega_0 t)$，尺度变换后的函数为 $g(t)=\cos(a\omega_0 t)$，其中 $a$ 是一个常数。对应的傅立叶变换分别为：

$$
\begin{aligned}
\mathcal{F}(g(t)) &= \frac{1}{2}\left[\delta(\omega-\frac{\omega_0}{a}) + \delta(\omega+\frac{\omega_0}{a})\right] \\
&= \frac{1}{|a|}\mathcal{F}(f(\frac{t}{a}))
\end{aligned}
$$

可以看到，尺度变换只会改变频率，不会改变傅立叶变换的形式。

2. 时移性质：

对于原函数 $f(t)=\cos(\omega_0 t)$，时移后的函数为 $h(t)=\cos(\omega_0 (t-t_0))$，其中 $t_0$ 是一个常数。对应的傅立叶变换分别为：

$$
\begin{aligned}
\mathcal{F}(h(t)) &= \frac{1}{2}\left[\delta(\omega-\omega_0)e^{-i\omega_0 t_0} + \delta(\omega+\omega_0)e^{i\omega_0 t_0}\right] \\
&= e^{-i\omega_0 t_0}\mathcal{F}(f(t-t_0))
\end{aligned}
$$

可以看到，时移会引入相位因子，但不会改变傅立叶变换的形式。