LC低通传递函数 推导

LC低通滤波器的电路图如下：

        ---- C ----
       |            |
       L            R
       |            |
       --------------
            |
           Vout

其中，L 表示电感，C 表示电容，R 表示电阻，Vout 表示输出信号。

根据基尔霍夫电压定律，可以得到：

Vout = Vin - I * R

其中，Vin 表示输入电压，I 表示电路中的电流。根据电感和电容的特性，可以得到：

Vout = L * dI/dt
I = C * dVc/dt

其中，dI/dt 表示电流随时间的变化率，dVc/dt 表示电容电压随时间的变化率。

将上述两个公式代入基尔霍夫电压定律中，可以得到：

L * dI/dt = Vin - C * dVc/dt - I * R

将上式重排并进行拉普拉斯变换，可以得到传递函数表达式：

H(s) = Vout(s) / Vin(s) = 1 / (sL + R + 1 / (sC))

其中，s 表示复变量，Vin(s) 和 Vout(s) 分别表示输入信号和输出信号的 Laplace 变换。这个传递函数描述了输入信号的频率响应特性，可以用来分析滤波器的频率特性和幅频特性。

特别地，当 R 很小（接近于零）时，传递函数可以简化为：

H(s) = Vout(s) / Vin(s) = 1 / (sL + 1 / (sC))

这个传递函数也被称为理想的 LC 低通滤波器的传递函数，其截止频率为 1 / (2π√(LC))。