求定积分∫e的根号下x-1dx

我们可以使用变量代换法来求解这个积分。令u = sqrt(x-1)，则有x = u^2 + 1，dx = 2u du。将变量代换带入原式得到：

∫e^(sqrt(x-1))dx = ∫e^(u) * 2u du

这个积分可以通过分部积分法求解。令f(u) = u * e^u，g'(u) = e^u，则有f'(u) = (u+1) * e^u，g(u) = e^u。根据分部积分法可得：

∫e^(u) * 2u du = 2u * e^u - ∫(u+1) * e^u du

对于右边的积分∫(u+1) * e^u du，可以再次使用分部积分法进行求解。令f(u) = u+1，g'(u) = e^u，则有f'(u) = 1，g(u) = e^u。根据分部积分法可得：

∫(u+1) * e^u du = (u+1) * e^u - ∫e^u du

将上式代回原式，得到：

∫e^(sqrt(x-1))dx = 2sqrt(x-1) * e^(sqrt(x-1)) - 2 * (sqrt(x-1) + 1) * e^(sqrt(x-1)) + C

其中C为常数。因此，定积分 ∫e^(sqrt(x-1))dx 的解为：

2sqrt(x-1) * e^(sqrt(x-1)) - 2 * (sqrt(x-1) + 1) * e^(sqrt(x-1)) + C

相关问题

已知f(x)=1.252e-08 * x ** 4 - 6.196e-06 * x ** 3 + 0.0006689 * x ** 2 + 0.04584 * x + 0.3731，如何计算根号下1+f(x)导数的平方的定积分

首先，计算根号下1+f(x)的导数：

f'(x) = (1/2) * (1+f(x)) ^ (-1/2) * f'(x)

然后，计算根号下1+f(x)导数的平方：

[ f'(x) ] ^ 2 = (1/4) * (1+f(x)) ^ (-1) * [ f'(x) ] ^ 2

最后，计算定积分：

∫[a,b] [ f'(x) ] ^ 2 dx = (1/4) * ∫[a,b] (1+f(x)) ^ (-1) * [ f'(x) ] ^ 2 dx

根据上式，我们可以先计算出 f(x) 的导数 f'(x)，然后代入到公式中，再进行定积分的计算。

分别用复合梯形及复合辛普森求积计算定 积分根号xlnx，要求精度为10的-4次方， 求步长，写出MATLAB代码

为了计算定积分 ∫√x * ln(x) dx 精度达到 10^-4，我们可以使用复合梯形法则 (Composite Trapezoidal Rule) 和复合辛普森法则 (Composite Simpson's Rule)。这两个方法都需要将区间划分为若干等间距或等权重的小段，然后分别应用规则进行近似。

首先，我们需要确定步长 h，对于复合梯形法则通常选择步长较小以便提高精度。假设我们采用 n 步，那么总宽度为 nh。对于复合辛普森法则，需要一个奇数步数，如 2n+1，因为它的公式基于三个函数值。

1. **复合梯形法**:
- 步长 h = (b - a) / n 或者更准确些，h = √(ε / (2 * M)), 其中 ε 是目标精度，M 是函数的最大绝对值估计。
- MATLAB代码示例：

function result = composite_trapezoid(a, b, epsilon)
    n = floor(eps / (b - a)); % 初始步长估计
    M = max(abs(sqrt(x.*log(x)))) % 预估函数最大值
    h = sqrt(epsilon / (2 * M));
    result = trapz(compute_points(a, b, h), x_values(h)) + trapz(compute_points(b, a, -h), x_values(-h));
end

function points = compute_points(start, end, step)
    start_idx = floor((start - a) / step);
    points = linspace(start + step * start_idx, end, numel(start_idx) + 1);
end

function x_values(step)
    % 生成对应的x值数组
    % ...
end

2. **复合辛普森法则**:
- 对于奇数步数 n，可以设 n = 2k + 1，其中 k = ceil(eps^(1/3) / (b - a))。
- MATLAB代码示例：

function result = composite_simpson(a, b, epsilon)
    n = ceil(eps^(1/3) / (b - a)); % 奇数步长估计
    M = max(abs(sqrt(x.*log(x))));
    h = (b - a) / (2 * n); % 辛普森公式步长
    result = simpson(compute_points(a, b, h), x_values(h)) + simpson(compute_points(b, a, -h), x_values(-h));
end

% ... 同样地，你需要补充compute_points和x_values函数来生成点集

注意，由于涉及到计算根号、对数和平方根，你需要确保输入x值大于0，并提供适当的数值范围限制。实际编写时，你需要完善`compute_points`、`x_values` 函数以及处理边界条件和特殊值。