求定积分∫e的根号下x-1dx

我们可以使用变量代换法来求解这个积分。令u = sqrt(x-1)，则有x = u^2 + 1，dx = 2u du。将变量代换带入原式得到：

∫e^(sqrt(x-1))dx = ∫e^(u) * 2u du

这个积分可以通过分部积分法求解。令f(u) = u * e^u，g'(u) = e^u，则有f'(u) = (u+1) * e^u，g(u) = e^u。根据分部积分法可得：

∫e^(u) * 2u du = 2u * e^u - ∫(u+1) * e^u du

对于右边的积分∫(u+1) * e^u du，可以再次使用分部积分法进行求解。令f(u) = u+1，g'(u) = e^u，则有f'(u) = 1，g(u) = e^u。根据分部积分法可得：

∫(u+1) * e^u du = (u+1) * e^u - ∫e^u du

将上式代回原式，得到：

∫e^(sqrt(x-1))dx = 2sqrt(x-1) * e^(sqrt(x-1)) - 2 * (sqrt(x-1) + 1) * e^(sqrt(x-1)) + C

其中C为常数。因此，定积分 ∫e^(sqrt(x-1))dx 的解为：

2sqrt(x-1) * e^(sqrt(x-1)) - 2 * (sqrt(x-1) + 1) * e^(sqrt(x-1)) + C