给定m行和n列网格，有一个机器人从左上角(0,0)出发，每一步可以向下或向右走一步，问多少种不同的方式走到右下角？

这是一个典型的动态规划问题。我们可以用 $dp_{i,j}$ 表示从左上角走到第 $i$ 行，第 $j$ 列的格子的不同路径数。显然，$dp_{0,0}=1$，因为只有一种走法，即不动。

对于第一行和第一列的格子，因为机器人只能向右或向下移动，所以每个格子的 $dp$ 值都是 1，即 $dp_{0,j}=dp_{i,0}=1$。

对于其他的格子，它们既可以从上方的格子到达，也可以从左边的格子到达，因此有：

$$dp_{i,j}=dp_{i-1,j}+dp_{i,j-1}$$

最终，$dp_{m-1,n-1}$ 就是从左上角走到右下角的不同路径数。

下面是 Python 代码实现：

def uniquePaths(m: int, n: int) -> int:
    dp = [[1] * n for _ in range(m)]
    for i in range(1, m):
        for j in range(1, n):
            dp[i][j] = dp[i-1][j] + dp[i][j-1]
    return dp[m-1][n-1]

时间复杂度为 $O(mn)$，空间复杂度为 $O(mn)$。

相关问题

Python给定m行和n列网格，有一个机器人从左上角(0,0)出发，每一步可以向下或向右走一步，问多少种不同的方式走到右下角？

这道题可以使用动态规划来解决。我们可以定义一个二维数组 `dp`，其中 `dp[i][j]` 表示从左上角走到网格 `(i,j)` 的不同路径数。

对于每个格子 `(i,j)`，它可以从它的上方格子 `(i-1,j)` 或者左边格子 `(i,j-1)` 走过来，因此到达当前格子的路径数为到达上方格子和左边格子的路径数之和。即：

dp[i][j] = dp[i-1][j] + dp[i][j-1]

需要注意的是，对于第一行和第一列的格子，它们只能从左边或上边走过来，因此它们的路径数都为 1。

最终，`dp[m-1][n-1]` 就是从左上角到右下角的不同路径数。

下面是 Python 代码实现：

def uniquePaths(m: int, n: int) -> int:
    # 初始化 dp 数组
    dp = [[0] * n for _ in range(m)]
    for i in range(m):
        dp[i][0] = 1
    for j in range(n):
        dp[0][j] = 1

    # 填充 dp 数组
    for i in range(1, m):
        for j in range(1, n):
            dp[i][j] = dp[i-1][j] + dp[i][j-1]

    return dp[m-1][n-1]

时间复杂度为 $O(mn)$，空间复杂度为 $O(mn)$。

一个机器人位于一个m*n网格的左上角 （如下图中标记为“start”），机器人每次只能向下或者向右移动一步。机器人试图达到网格的右下角（如下图中标记为“finish”）。问总共有多少条不同的路径？

### 回答1：
机器人从左上角出发，每次只能向下或向右移动一步，试图到达右下角。问有多少种不同的路径可以到达终点。

答案：假设网格的行数为m，列数为n，则机器人需要向下移动m-1次，向右移动n-1次，总共需要移动m+n-2次。因此，问题转化为从m+n-2个元素中选择m-1个元素的组合数，即C(m+n-2, m-1)。

### 回答2：
对于一个m*n的网格，机器人位于左上角，目标是到达右下角，机器人每次只能向下或向右移动一步。我们可以使用动态规划的方法来解决这个问题。

假设我们定义一个二维数组dp[m][n]来表示到达每个位置的不同路径数。那么我们可以得到如下的递推关系式：

dp[i][j] = dp[i-1][j] + dp[i][j-1]

其中，dp[i][j]表示到达网格中第i行第j列位置的不同路径数。由此，我们可以得到递推的初始条件：

dp[0][0] = 1

因为机器人初始位置是在左上角。然后我们可以按照从左到右、从上到下的顺序依次计算dp[i][j]的值。最后的结果就是dp[m-1][n-1]，即到达右下角位置的不同路径数。

通过这个方法，我们可以用动态规划算法求解机器人在m*n网格中从左上角到右下角的不同路径数。

### 回答3：
假设给定的 m*n 网格的行数为 m，列数为 n。
我们可以用动态规划的方法来解决这个问题，定义一个二维数组 dp[m][n]，其中 dp[i][j] 表示到达网格中第 i 行第 j 列的位置时的不同路径数。
首先，我们发现机器人只能向下或向右移动，所以到达第一行和第一列的任意位置时，只能有一种路径。因此我们可以将 dp 的第一行和第一列的所有元素初始化为 1。
接下来，对于其他位置的元素 dp[i][j]，可以通过 dp[i-1][j] 和 dp[i][j-1] 的值来计算。
具体地，到达 dp[i][j] 的路径数等于到达 dp[i-1][j] 和 dp[i][j-1] 的路径数之和，因为机器人只能向下或向右移动。
最后，我们可以返回 dp[m-1][n-1]，即机器人到达右下角位置时的路径数。
因此，总共有 dp[m-1][n-1] 条不同的路径。

这个问题可以用以下递推公式表示：
dp[i][j] = dp[i-1][j] + dp[i][j-1] ( i>0, j>0)
dp[0][j] = dp[i][0] = 1 ( 0<=i<m, 0<=j<n)

通过以上的动态规划方法，我们可以计算出总共有多少条不同的路径。