给定m行和n列网格，有一个机器人从左上角(0,0)出发，每一步可以向下或向右走一步，问多少种不同的方式走到右下角？

这是一个典型的动态规划问题。我们可以用 $dp_{i,j}$ 表示从左上角走到第 $i$ 行，第 $j$ 列的格子的不同路径数。显然，$dp_{0,0}=1$，因为只有一种走法，即不动。

对于第一行和第一列的格子，因为机器人只能向右或向下移动，所以每个格子的 $dp$ 值都是 1，即 $dp_{0,j}=dp_{i,0}=1$。

对于其他的格子，它们既可以从上方的格子到达，也可以从左边的格子到达，因此有：

$$dp_{i,j}=dp_{i-1,j}+dp_{i,j-1}$$

最终，$dp_{m-1,n-1}$ 就是从左上角走到右下角的不同路径数。

下面是 Python 代码实现：

def uniquePaths(m: int, n: int) -> int:
    dp = [[1] * n for _ in range(m)]
    for i in range(1, m):
        for j in range(1, n):
            dp[i][j] = dp[i-1][j] + dp[i][j-1]
    return dp[m-1][n-1]

时间复杂度为 $O(mn)$，空间复杂度为 $O(mn)$。

相关问题

Python给定m行和n列网格，有一个机器人从左上角(0,0)出发，每一步可以向下或向右走一步，问多少种不同的方式走到右下角？

这道题可以使用动态规划来解决。我们可以定义一个二维数组 `dp`，其中 `dp[i][j]` 表示从左上角走到网格 `(i,j)` 的不同路径数。

对于每个格子 `(i,j)`，它可以从它的上方格子 `(i-1,j)` 或者左边格子 `(i,j-1)` 走过来，因此到达当前格子的路径数为到达上方格子和左边格子的路径数之和。即：

dp[i][j] = dp[i-1][j] + dp[i][j-1]

需要注意的是，对于第一行和第一列的格子，它们只能从左边或上边走过来，因此它们的路径数都为 1。

最终，`dp[m-1][n-1]` 就是从左上角到右下角的不同路径数。

下面是 Python 代码实现：

def uniquePaths(m: int, n: int) -> int:
    # 初始化 dp 数组
    dp = [[0] * n for _ in range(m)]
    for i in range(m):
        dp[i][0] = 1
    for j in range(n):
        dp[0][j] = 1

    # 填充 dp 数组
    for i in range(1, m):
        for j in range(1, n):
            dp[i][j] = dp[i-1][j] + dp[i][j-1]

    return dp[m-1][n-1]

时间复杂度为 $O(mn)$，空间复杂度为 $O(mn)$。

请用c++写一段代码：给定一个m行n列的迷宫，迷宫中每个格子中有距离数值，一个机器人只能向下和向右移动，求机器人从左上角到右下角的最短距离和最短路径

假设迷宫的距离数值矩阵为maze，m行n列，机器人从左上角出发，到达右下角的最短距离和最短路径可以使用动态规划算法解决。

具体思路如下：

1. 初始化一个m行n列的二维数组dp，用来存储每个位置到达左上角的最短距离。

2. 初始化dp[0][0]为maze[0][0]，因为机器人从左上角出发，所以到达左上角的最短距离就是左上角的距离数值。

3. 对于第一行和第一列的位置，因为只能向右或向下移动，所以到达这些位置的最短距离就是前一个位置的最短距离加上当前位置的距离数值。

4. 对于其他位置，到达当前位置的最短距离就是从上面或左边的位置中选择一个最小值，再加上当前位置的距离数值。

5. 最后dp[m-1][n-1]就是机器人从左上角到达右下角的最短距离，可以使用回溯算法找出最短路径。

代码如下：

#include <stdio.h>

#define MAX_M 100
#define MAX_N 100

int maze[MAX_M][MAX_N]; // 迷宫距离数值矩阵
int dp[MAX_M][MAX_N];   // 到达每个位置的最短距离

int min(int a, int b) { return a < b ? a : b; }

int main()
{
    int m, n;
    printf("请输入迷宫的行数和列数：");
    scanf("%d %d", &m, &n);

    printf("请输入迷宫中每个格子的距离数值：\n");
    for (int i = 0; i < m; i++)
    {
        for (int j = 0; j < n; j++)
        {
            scanf("%d", &maze[i][j]);
        }
    }

    // 初始化dp数组
    dp[0][0] = maze[0][0];
    for (int i = 1; i < m; i++)
    {
        dp[i][0] = dp[i-1][0] + maze[i][0];
    }
    for (int j = 1; j < n; j++)
    {
        dp[0][j] = dp[0][j-1] + maze[0][j];
    }

    // 动态规划求解最短距离
    for (int i = 1; i < m; i++)
    {
        for (int j = 1; j < n; j++)
        {
            dp[i][j] = min(dp[i-1][j], dp[i][j-1]) + maze[i][j];
        }
    }

    printf("机器人从左上角到达右下角的最短距离为：%d\n", dp[m-1][n-1]);

    // 回溯算法求解最短路径
    int x = m - 1, y = n - 1;
    while (x != 0 || y != 0)
    {
        printf("(%d,%d) ", x, y);
        if (x == 0)
        {
            y--;
        }
        else if (y == 0)
        {
            x--;
        }
        else
        {
            if (dp[x-1][y] < dp[x][y-1])
            {
                x--;
            }
            else
            {
                y--;
            }
        }
    }
    printf("(0,0)\n");

    return 0;
}