编写牛顿插值法实现对数据缺失补充

牛顿插值法（Newton's Interpolation）是一种数学上的多项式插值技术，用于估算在一个数据点集中的未知值。当数据集中存在缺失值时，可以通过已知的数据点构建一个多项式模型，然后用该模型在缺失值的位置进行预测。这个过程通常适用于数据分布较为均匀，且变化相对平滑的情况。

以下是一个简单的Python实现，使用的是拉格朗日插值公式，它是牛顿插值的一个特殊情况：

from numpy import linspace, polyfit

def lagrange_interpolation(x_data, y_data, x_missing):
    # 拉格朗日插值公式
    def l(x):
        num = 1
        for i in range(len(x_data)):
            if i != j:
                num *= (x - x_data[i]) / (x_data[j] - x_data[i])
        return num
    
    def interpolate(j):
        return y_data[j] * l(x_missing)

    # 遍历数据，计算每个点的插值结果
    interpolated_values = [interpolate(i) for i in range(len(x_data))]

    # 计算最终插值多项式
    coefficients = polyfit(x_data, interpolated_values, len(x_data)-1)
    
    # 使用多项式在缺失值位置进行预测
    predicted_value = polyval(coefficients, x_missing)
    return predicted_value

# 示例数据
x_data = [1, 2, 3, 4]
y_data = [5, 7, 9, 11]
x_missing = 2.5

# 插值并打印结果
predicted_value = lagrange_interpolation(x_data, y_data, x_missing)
print(f"缺失值 {x_missing} 的预测值为: {predicted_value}")

在这个例子中，`lagrange_interpolation` 函数接受一个数据点列表 `x_data` 和对应的 `y_data`，以及一个要插值的 `x_missing` 值。首先通过拉格朗日插值公式计算每个已知数据点对应于 `x_missing` 的插值值，然后使用这些插值值构造一个一阶或更高阶的多项式（根据数据点的数量），最后在 `x_missing` 处求解多项式的值。